Enunciado

A cavilha P é inpulsionada pelo anel do garfo O A ao longo da trajetória curva descrita por r = ( 2 θ ) m. No instante θ = π / 4   rad, a velocidade angular e a aceleração angular do anel garfo são θ ˙ = 3 rad/s e θ ¨ = 1 rad/s2. Determine a intensidade da aceleração da cavilha nesse instante.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:

Trajetória curva: r = 2 θ m;

Velocidade angular do anel do garfo: θ ˙ = 3 rad/s;

Aceleração angular do anel do garfo: θ ¨ = 1 rad/s2.

Devemos determinar a intensidade da aceleração da cavilha no instante θ = π / 4 rad.

A velocidade angular e a aceleração angular da cavilha são iguais as do anel do garfo, pois ambas se movem juntas.

Passo 2

Vamos encontrar a intensidade da aceleração da cavilha.

Sabemos que, por definição, a aceleração em coordenadas polares é composta por uma componente radial e uma componente transversal, conforme exibido abaixo:

a = a r 2 + a θ 2

Onde

a r = r ¨ - r θ ˙ 2

a θ = r θ ¨ + 2 r ˙ θ ˙

Logo, para encontrar o valor de a , precisamos definir quem são r ˙ e r ¨ . Os valores de θ ˙ e θ ¨ já são dados pela questão.

Sabendo que r = 2 θ , suas derivadas temporais são

r ˙ = d r d t = 2 θ ˙

r ¨ = d 2 r d t 2 = 2 θ ¨

Logo, em θ = π / 4   , obtemos

r = π 2   m

r ˙ = 2 θ ˙ = 6   m / s

r ¨ = 2 θ ¨ = 2   m / s 2

As componentes radial e transversal da aceleração em θ = π / 4 são:

a r = r ¨ - r θ ˙ 2 = 2 - π 2 3 2 = - 12 , 137

a θ = r θ ¨ + 2 r ˙ θ ˙ = π 2 1 + 2 6 3 = 37,57

A intensidade de a   é dada por

a = - 12 , 137 2 + 37,57 2

a = 39,48   m / s 2

Resposta

a = 39,5   m / s 2

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