Enunciado

Determine a massa necessária do bloco A de maneira que, ao ser solto do repouso, mova o bloco B de 5 kg em uma distância de 0,75 m para cima ao longo do plano inclinado liso em t = 2 s. Despreze a massa das polias e cordas.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:

Massa do bloco B : m B = 5   kg;

Distância percorrida: s = 0,75 m;

Instante: t = 2 s.

Devemos determinar a massa que o bloco A deve ter para que mova o bloco B por uma distância s ao ser solto do repouso.

Como o bloco A é solto do repouso em t , sua velocidade inicial é de

v 0 A = 0   m / s

O bloco B também está em repouso nesse instante, logo

v 0 B = 0   m / s

Passo 2

Sabemos que o bloco B será puxado pela corda com uma aceleração a B .

Para encontrar essa aceleração, utilizaremos a equação da cinemática aplicada no eixo y :

s = s 0 + v 0 t + 1 2 a t 2

Portanto, temos que

0.75 = 0 + 0 2 + 1 2 a B 2 2

0.75 = 2 a B

a B = 0,375   m / s 2

Passo 3

Agora vamos encontrar a aceleração do com que o bloco A se move.

Para isso, relacionaremos a A com a B utilizando uma análise de movimento dependente, que é discutida na seção 12.9 do livro.

Devemos escolher um ponto fixo no sistema e medir as posições de A e B . O ponto escolhido está representado no diagrama abaixo:

Portanto, temos que

2 s A + s A - s B = l

3 s A - s B = l

Onde l é o comprimento da corda e é constante.

Derivando esta equação duas vezes, podemos obter a aceleração de cada bloco, uma vez que

d s d t = v

d v d t = d 2 s d t 2

Logo, temos que

3 a A - a B = 0

Substituindo o valor de a B , obtemos

3 a A = 0,375

a A = 0,125   m / s 2  

Passo 4

Agora que já temos o valor da aceleração de cada bloco, vamos aplicar a Equação do Movimento para encontrar a tensão T da corda.

Primeiramente, vamos aplicar no bloco B . O diagrama de corpo livre deve ser desenhado para melhor visualização do movimento:

Logo, temos que

∑ F y ' = m a y '

T - W B sen ⁡ 60 ° = m B a B

T = 5 0,375 + 5 9,81 sen ⁡ 60 °

T = 44,35   N

Como ambos os blocos estáo ligados pelo mesmo cabo, a for;a T é igual para ambos. Analisando o bloco A e seu diagrama de corpo livre desenhado abaixo, temos que

∑ F y = m a y

3 T - W A = m A a A

3 44,35 - m A g = m A a A

m A - 0,125 + 9,81 = 133,05

m A = 13,7   k g

Resposta

m A = 13,7   k g

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