Enunciado

A cavilha P é inpulsionada pelo anel do garfo O A ao longo da trajetória curva descrita por r = e θ . Quando θ = π / 4   rad, o anel tem uma velocidade angular e a aceleração angular de θ ˙ = 2 rad/s e θ ¨ = 4 rad/s2. Determine as componentes radial e transversal da aceleração da cavilha nesse instante.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:

Trajetória curva: r = e θ m;

Velocidade angular do anel do garfo: θ ˙ = 2 rad/s;

Aceleração angular do anel do garfo: θ ¨ = 4 rad/s2.

Devemos determinar a intensidade da aceleração da cavilha no instante θ = π / 4 rad.

A velocidade angular e a aceleração angular da cavilha são iguais as do anel do garfo, pois ambas se movem juntas.

Passo 2

Vamos encontrar a intensidade da aceleração da cavilha.

Sabemos que, por definição, a aceleração em coordenadas polares é composta por uma componente radial e uma componente transversal, conforme exibido abaixo:

a = a r 2 + a θ 2

Onde

a r = r ¨ - r θ ˙ 2

a θ = r θ ¨ + 2 r ˙ θ ˙

Logo, para encontrar o valor de a , precisamos definir quem são r ˙ e r ¨ . Os valores de θ ˙ e θ ¨ já são dados pela questão.

Sabendo que r = e θ , suas derivadas temporais são

r ˙ = d r d t = θ ˙ e θ

r ¨ = d 2 r d t 2 = θ ¨ e θ + θ ˙ 2 e θ

Logo, em θ = π / 4   , obtemos

r = e π 4   m

r ˙ = θ ˙ e θ = 2 e π 4     m / s

r ¨ = θ ¨ e θ + θ ˙ 2 e θ = 4 e π 4 + 4 e π 4 = 8 e π 4     m / s 2

As componentes radial e transversal da aceleração em θ = π / 4 são:

a r = r ¨ - r θ ˙ 2 = 8 e π 4   - e π 4 2 2 = 4 e π 4   = 8,77   m / s 2

a θ = r θ ¨ + 2 r ˙ θ ˙ = e π 4   4 + 2 2 e π 4   2 = 26,32   m / s 2

Resposta

a r = 8,77   m / s 2

a θ = 26,32   m / s 2

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