Enunciado

O centro da roda de 100   k g com raio de giração centroidal de 100   m m tem uma velocidade de 0,6   m / s para baixo na inclinação na posição indicada. Calcule a reação normal N sob a roda quando ela passa pela posição A . Assuma que não há deslizamento.

Passo 1

Quando a roda passa pelo ponto A , deve haver uma resultante centrípeta apontando para cima:

∑ F y = m v 2 r

N - P = m v 2 r

N = m v 2 r - g

Então, para encontrar a força normal, nós precisamos determinar a velocidade v do centro de massa da roda quando ela chega no ponto A .

Passo 2

Para encontrar essa velocidade r , vamos usar a lei de conservação de energia:

Δ V g + Δ T = 0

Começamos encontrando uma expressão para a variação de energia potencial gravitacional:

Δ V G = m g Δ h

O plano é inclinado por 30 ° , então ao percorrer a distância de 0,300   m ao longo do plano, todas os pontos da esfera terão descido pela seguinte altura:

h 1 = 0,300 sen ⁡ 30 ° = 0,150   m

Em seguida, o centro de massa fará um movimento análogo ao de um pêndulo, com um raio de curvatura R = 0,600 - 0,150 = 0,450   m , de forma que o seu deslocamento vertical ao completar um arco de 30 ° será:

h 2 = 0,450 1 - cos ⁡ 30 ° = 0,0603   m

Então:

Δ h = - 0,150 + 0,0603 = - 0,2103   m

Então:

Δ V g = 100 9,81 - 0,2103 = - 206,3   J

Passo 3

Agora vamos encontrar uma expressão para a variação de energia cinética:

Δ T = 1 2 I P ω f 2 - ω 0 2

Perceba que, se P é o ponto de contato entre a superfície e a roda, nós só precisamos considerar a energia cinética de rotação, pois a velocidade linear de P é sempre nula.

ω 0 = v 0 r = 0,6 0,150 = 4   r a d / s

ω F = v r = v 0,150 = 20 v 3

E fica faltando calcular o momento de inércia em relação ao ponto P , usando o teorema dos eixos paralelos:

I P = m k 2 + m r 2

I P = ( 100 ) 0,100 2 + 0,150 2 = 3,25   k g ∙ m 2

Então:

Δ T = 1 2 3,25 20 v 3 2 - 4 2 = 1 2 ( 3,25 ) 44,4 v 2 - 4

Δ T = 3,25 22,2 v 2 - 2

Passo 4

Agora vamos retomar a nossa lei de conservação de energia:

Δ V g + Δ T = 0

3,25 22,2 v 2 - 2 = 206,3

v = 1,72   m / s

E agora é só substituir na expressão que escrevemos no primeiro passo:

N = m v 2 r - g

N = 100 1,72 2 0,150 - 9,81 = 985   N

Resposta

A reação normal sobre a roda é N = 985   N no ponto mais baixo da trajetória.

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