Enunciado

O cilindro maciço uniforme de massa m e raio r rola sem deslizar durante a sua oscilação sobre a superfície circular de raio R . Se o movimento está limitado a pequenas amplitudes θ = θ 0 , determine o período τ das oscilações. Determine também a velocidade angular ω do cilindro quando cruza a linha de centro vertical. (Atenção: Não confunda ω com θ ˙ ou com ω n conforme utilizado nas equações de definição. Observe também que θ não é o deslocamento angular do cilindro.)

Passo 1

Vamos definir um ângulo β , que corresponde ao ângulo de rotação do cilindro em torno do seu próprio centro:

ω = β ˙

Então podemos escrever a seguinte equação de momentos:

∑ M c m = I c m β ¨ = 1 2 m r 2 β ¨

E a única força que produz momento em torno do centro de massa do cilindro é o atrito F :

∑ M c m = - F r

- F r = 1 2 m r 2 β ¨

Assim ficamos com duas variáveis desconhecidas ( β ¨ e F ), mas apenas uma equação. Precisamos encontrar uma segunda equação.

Passo 2

Se aplicarmos a segunda lei de Newton na direção tangencial ao movimento de rotação do cilindro, ficaremos com a seguinte expressão:

∑ F t = m a t

- m g sen ⁡ θ + F = m r β ¨

Agora sim, podemos resolver o sistema de equações:

- m g sen ⁡ θ + F = m r β ¨ - F r = 1 2 m r 2 β ¨

Dividimos a segunda equação por r e somamos as duas equações:

- m g sen ⁡ θ = m r β ¨ + 1 2 m r β ¨

- g sen ⁡ θ = 3 2 m r   β ¨

E podemos aproximar sen ⁡ θ ≅ θ , então:

3 2 r β ¨ + g θ = 0

Para resolver essa equação, preicamos escrever β em função de θ .

Passo 3

Quando o cilindro vai um extremo ao outro da sua amplitude de oscilação, a distância que ele percorre é dada por:

s = R θ

Pensando em termos do ângulo pelo qual o cilindro gira em torno do próprio centro, temos:

s = r β + θ

Então:

R θ = r β + θ

β = R r - 1 θ

E então:

β ¨ = R r - 1 θ ¨

Vamos substituir isso na nossa equação diferencial:

3 2 r R r - 1 θ ¨ + g θ = 0

θ ¨ + 2 g 3 R - r θ = 0

E então a frequência angular é:

ω n = 2 g 3 R - r

E o período é:

τ = 2 π ω n = 2 π 3 R - r 2 g

Passo 4

Agora falta encontrar a velocidade angular ω = β ˙ no instante em que o cilindro passa pela linha de centro vertical.

β = R r - 1 θ

Sabemos que, nesse ponto, tanto β ˙ quanto θ ˙ são máximos, então:

β ˙ m á x = R r - 1 θ ˙ m á x

Então vamos voltar à nossa equação diferencial de antes:

θ ¨ + 2 g 3 R - r θ = 0

Que é simplesemten a equação do oscilador harmônico, cuja solução pode ser:

θ = θ 0 sen ⁡ ω t

Vamos usar essa função para achar θ ˙ m á x :

θ ˙ = θ 0 ω cos ⁡ ω t

O valor máximo que essa função pode assumir (que acontece quando cos ⁡ ω t = 1 ) é:

θ ˙ m á x = θ 0 ω

Então:

β ˙ m á x = R r - 1 θ 0 ω

β ˙ m á x = R r - 1 θ 0   2 g 3 R - r

Podemos simplificar essa equação da seguinte forma:

β ˙ m á x = θ 0 r R - r   2 g 3 R - r

β ˙ m á x = θ 0 r   2 g ( R - r ) 3

Resposta

O período será τ = 2 π 3 R - r 2 g e a velocidade angular quando o cilindro cruza a linha de centro vertical é β ˙ m á x = θ 0 r   2 g ( R - r ) 3 .

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