Enunciado

O sistema do Prob. 8/45 é repetido aqui. Se o elemento de ligação A B possui agora uma masssa m 3 e um raio de giração k O em relação ao ponto O , determine a equação do movimento em termos da variável x . Assuma pequenas oscilações. O coeficiente de amortecimento para o amortecedor é c .

Passo 1

Vamos começar aplicando as leis de Newton sobre cada uma das massas m 1 e m 2 na direção vertical:

∑ F = m x ¨

Onde vamos chamar a coordenada vertical da massa m 1 de x , e a da massa m 2 de x 2 .

Se a massa m 1 se desloca ligeiramente para cima, as forças que agem sobre ela serão as seguintes:

Então:

- k x - T B = m 1 x ¨

E uma situação semelhante acontece para a massa m 1 , mas ao invés de k x , a força no compressor é c x ˙ 2 .

T A - c x ˙ 2 = m 2 x ¨ 2

Como a massa m 2 se desloca ligeiramente para cima, a massa m 1 se desloca ligeiramente para baixo, daí a diferença no sinal de T A em relação a T B .

Então até aqui ficamos com duas equações:

- k x - T B = m 1 x ¨ T A - c x ˙ 2 = m 2 x ¨ 2

Passo 2

E podemos montar também uma equação de momentos em torno do ponto O :

∑ M O = I O θ ¨

Lembrando que estamos supondo que o sistema se inclina para a esquerda, de forma que a massa m 2 está descendo e a massa m 1 está subindo:

∑ M O = T B b - T A a = I O θ ¨

E o momento de inércia pode ser calculado através do raio de giração:

T b b - T A a = m 3 k O 2 θ ¨

Então nosso sistema completo é:

- k x - T B = m 1 x ¨ T A - c x ˙ 2 = m 2 x ¨ 2 T b b - T A a = m 3 k O 2 θ ¨

Passo 3

Para poder resolver esse sistema, vamos escrever x 2 e θ em função de x . Para isso vamos precisar de um desenho:

Olhando para a tangente do ângulo θ podemos escrever o seguinte:

x 2 a = x b

x 2 = a b x

E então:

x ¨ 2 = a b x ¨

E ainda olhando para o desenho, podemos relacionar θ e x da seguinte forma:

x = b θ

x ¨ = b θ ¨

Vamos substituir tudo isso no sistema:

- k x - T B = m 1 x ¨ T A - c a b x ˙ = m 2 a b x ¨ T b b - T A a = m 3 k O 2 x ¨ b

Passo 4

E agora finalmente podemos resolver o sistema. Vamos multiplicar a primeira equação por b e somar com a segunda:

- k x b - T B b + T b b - T A a = m 1 b x ¨ + m 3 k O 2 x ¨ b

- k x b - T A a = m 1 b x ¨ + m 3 k O 2 x ¨ b

Agora isolamos T A na segunda equação e substituímos nessa:

T A = m 2 a b x ¨ - c a b x ˙

- k x b - m 2 a 2 b x ¨ - c a 2 b x ˙ = m 1 b x ¨ + m 3 k O 2 x ¨ b

Agora é só reorganizar um pouco:

m 1 b + m 3 k o 2 b + m 2 a 2 b x ¨ + c a 2 b x ˙ + k x b = 0

Dividundi tudo por b :

m 1 + m 3 k o 2 b 2 + m 2 a 2 b 2 x ¨ + c a 2 b 2 x ˙ + k x = 0

Pronto, essa é a equação do movimento que estávamos procurando.

Resposta

A equação do movimento é m 1 + m 3 k o 2 b 2 + m 2 a 2 b 2 x ¨ + c a 2 b 2 x ˙ + k x = 0 .

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