Enunciado

97. Os elementos da suspensão traseira independente, do tipo “eixo-flutuante”, para automóveis são representados na figura. O diferencial D está firmemente fixado ao chassi do carro. Os semieixos são articulados em suas extremidades internas (ponto O para o semieixo mostrado) e estão firmemente presos às rodas. Os elementos da suspensão não mostrados limitam o movimento da roda ao plano da figura. A massa do conjunto roda-pneu é M = 45   k g , e seu momento de inércia de massa em relação a um eixo diametral que passa através de seu centro de massa G é de 1,4   k g ⋅ m 2 . A massa do semieixo é desprezível. A constante da mola e o coeficiente de amortecimento do amortecedor são k = 8,75   k N / m e c = 2600   N ⋅ s / m , respectivamente. Se um desbalanceamento estático está presente no pneu, tal como representado pela massa concentrada adicional m = 0,25   k g como apresentado , determine a velocidade angular ω , que resulta no sistema de suspensão sendo excitado em sua frequência natural não amortecida. Qual seria a velocidade correspondente do veículo v ? Determine o fator de amortecimento ζ . Assuma pequenos deslocamentos angulares e despreze os efeitos giroscópicos e qualquer vibração do chassi do carro. A fim de evitar as complicações associadas com a variação da força normal exercida pela estrada sobre o pneu, considere o veículo como posicionado sobre um elevador com as rodas suspensas livremente.

Passo 1

Primeiro, vamos montar o diagrama da haste com a roda:

Passo 2

Agora, vamos calcular o momento de inércia do sistema em relação ao ponto O usando o teorema dos eixos paralelos:

I 0 = I G + m t l 2 2

I 0 = 1,4   k g ⋅ m 2 + 45,25   k g ⋅ 0,800   m 2

I 0 = 1,4   k g ⋅ m 2 + 28,96   k g ⋅ m 2

I 0 = 30,36   k g ⋅ m 2  

Passo 3

Em seguida, vamos fazer a soma de momentos em relação ao ponto O :

∑ M O = I 0 θ ¨

M 1 = - k l 1 ⋅ s e n θ l 1 ⋅ cos ⁡ θ

M 2 = - ( c l 1 θ ˙ ⋅ cos ⁡ θ ) ( l 1 ⋅ cos ⁡ θ )

M 3 = m r ω 2 ⋅ cos ⁡ ω t ⋅ c o s ⁡ ( θ ) l 2

M 1 + M 2 + M 3 = I 0 θ ¨

Para θ pequeno, temos s e n ( θ ) ≅ θ e c o s ⁡ ( θ ) ≅ 1

- k l 1 2 θ - c l 1 2 θ ˙ + l 2 m r ω 2 ⋅ cos ⁡ ω t = I 0 θ ¨

Rearranjando a equação:

θ ¨ + c l 1 2 I 0 θ ˙ + k l 1 2 I 0 θ = l 2 m r ω 2 ⋅ cos ⁡ ω t I 0

Passo 4

A equação genérica de um movimento harmônico amortecido e forçado é dado por:

θ ¨ + γ θ ˙ + ω n 2 θ = F 0 ⋅ cos ⁡ ω t m

Dessa forma, podemos calcular ω n como:

ω n = k l 1 2 I 0 = ( 8,75   k N / m   ) ( 0,600   m ) 2 30,36   k g ⋅ m 2

ω n = 3150   N ⋅ m 30,36   k g ⋅ m 2

ω n = 103,75

ω n ≅ 10,18   r a d / s

Passo 5

Agora, vamos achar a velocidade correspondente do veículo v :

v = r ⋅ ω n

v = 0,350   m ⋅ 10,18   r a d / s

v = 3,563   m / s

Passo 6

E finalmente para achar o fator de amortecimento ζ , vamos utilizar a relação:

2 ζ ω n = γ

2 ζ ω n = c l 1 2 I 0

ζ = c l 1 2 2 I 0 ω n

ζ = ( 2600   N ⋅ s / m ) ( 0,600   m ) 2 2 ( 30,36   k g ⋅ m 2 ) ( 10,18   r a d / s )

ζ ≅ 2,52

Resposta

A velocidade angular ω será:

ω n = 10,18   r a d / s

A velocidade v :

v = 3,563   m / s

E o fator de amortecimento:

ζ = 2,52

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