Enunciado

Se o coeficiente de atrito cinético entre a caixa de 100 kg e o plano é μ k = 0,25 , determine a velocidade da caixa no instante que a compressão da mola é x = 1,5 m. Inicialmente, a mola não está deformada e a caixa está em repouso.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:

Masas da caixa: m = 100   k g ;

Coeficiente de atrito: μ k = 0,25 ;

Rigidez da mola: k = 2000   N / m ;

Velocidade inicial da caixa: v 1 = 0   m / s ;

Compressão da mola: x = 1,5   m .

Devemos determinar a velocidade v 2 da mola no instante que a mola sofre uma compressão de x = 1,5 m.

Inicialmente, vamos desenhar o diagrama de corpo livre da caixa em contato com a mola:

Onde W = m g é a força peso, F s = k x é a força elástica da mola, N é a força normal e F f = N μ k é a força de atrito cinético.

Passo 2

Primeiramente, vamos encontrar o valor das forças normal e de atrito. Para isso, utilizaremos a Equação do Movimento:

∑ F = m a

No eixo de referência y :

∑ F y = m a y

N - W cos ⁡ 45 ° = m a y

N - 100 9,81 cos ⁡ 45 ° = 100 0

N = 693,67   N

Logo, a força de atrito será igual a

F f = N μ k = 693,67   0,25

F f = 173,42   N

Passo 3

Com os dados obtidos no passo anterior, podemos aplicar o Princípio do Trabalho e Energia para determinar a velocidade da mola quando x = 1,5 m.

Na direção do deslocamento da caixa, temos a ação da força peso W , força de atrito F f e força elástica F s . Porém, tanto a força de atrito quanto a força elástica agem no sentindo oposto ao deslocamento, portanto o trabalho exercido por elas será negativo.

Temos que,

T 1 + ∑ U 1 - 2 = T 2

onde

T 1 = 1 2 m v 1 2 = 1 2 m 0 2 = 0

T 2 = 1 2 m v 2 2 = 1 2 ( 100 ) v 2 2 = 50 v 2 2

∑ U 1 - 2 = W y 1 - 2 - 1 2 k x 2 - F f ( 10 + x ) = m g 10 + x sen ⁡ 45 ° - 1 2 k x 2 - F f ( 10 + x )  

Substituindo esses valores na equação inicial e com os dados fornecidos pela questão, obtemos

0 + m g 10 + x sen ⁡ 45 ° - 1 2 k x 2 - F f ( 10 + x )   = 0

( 100 ) ( 9,81 ) 10 + 1,5 sen ⁡ 45 ° - 1 2 ( 2000 ) 1,5 2 - ( 173,42 ) ( 10 + 1,5 )   = 50 v 2 2

50 v 2 2 = 3732,895

v 2 = 8,64   m / s

Resposta

v 2 = 8,64   m / s

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