Enunciado

A coluna é feita de concreto de densidade 2,30   M g / m 3 e está sujeita a uma força de compressão axial de 15   k N em sua extremidade superior B . Determine a tensão normal média na coluna em função da distância z medida em relação à base. Observação: por causa da deformação localizada nas extremidades, o resultado servirá apenas para determinar a tensão normal média em uma seção removida das extremidades da coluna.

Passo 1

Falaaa! Vem comigo!

Antes de começar, vamos fazer uma observação: o enunciado possui um errinho na unidade da densidade. Para chegarmos no valor dado pelo gabarito, precisamos usar 2,3   k g / m 3 e não 2,3   m g / m 3 , belezinha? Continuando...

Desejamos calcular a tensão normal média ( σ m e d ) em função de z . Devemos lembrar, então, que a tensão normal é dada por

σ m e d = F A

Onde

F : resultante da força normal;

A : Área da seção transversal da barra;

Para o nosso caso a área da seção transversal é dada por um círculo de raio r = 180 m m = 0.18 m . Aí essa área fica constante:

A = 0,18 2 π   m 2

Precisamos então achar a expressão de F em função de z . Não se assusta com isso de calcular em função de z , vamos chegar lá juntos. Bora!

Passo 2

Cara, a gente precisa entender qual é a força normal interna resultante nessa coluna. Bora fazer um DCL? A gente vai imaginar que a seção onde a gente quer descobrir F é a seção onde a coluna se apoia no chão. Então temos:

Sendo F a força normal nessa seção. Vemos que a força normal resultante é a soma de 15 k N com o peso da coluna fazendo a equação de equilíbrio para o eixo z :

∑ F z = 0

F = P + 15   k N

Masss, ele não quer que a gente considere simplesmente o peso de toda a coluna.

Ele quer o peso de uma coluna que esteja distante z do chão. Sendo que z não pode ultrapassar a altura máxima da coluna. Por que isso?

Cara, ele diz que esse resultado só vale para seções que não sejam extremidades da coluna, por isso não podemos ter z = 4   m e também não podemos analisar essa coluna saindo de z = 0 . Se não estaríamos considerando a extremidade inferior, beleza?

Então, o que temos, é esse pedacinho da coluna:

Aí você pode imaginar que F está ali nessa nova seção (onde começa a coluna azul na altura z ).

E aplicando a equação de equilíbrio na vertical novamente, vemos que a força resultante vai continuar sendo

F = P + 15   k N

Mas precisamos achar esse P .

Passo 3

Repara que o pedaço de coluna tem altura 4 - z . Aí podemos achar o peso desse pedacinho de coluna usando essa fórmulinha:

P = ρ ⋅ g ⋅ V

Sendo que g é a gravidade, ρ a densidade e V o volume da coluna. E volume é dado pelo produto entre área da base A e altura 4 - z . Substituindo nossos dados:

P = ρ g 4 - z A

P = 2,30 9,8 4 - z 0,18 2 π

P = 2,29 4 - z   k N

Aí a resultante fica:

F = 15 + P

F = 15 + 2,29 4 - z

Portanto, nossa tensão normal média em função de z será

σ m e d = F A

σ m e d = 15 + 2,29 4 - z 0,18 2 π

σ m e d = 238 - 22,5 z   k P a

Resposta

σ m e d = 238 - 22,5 z   k P a

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