Enunciado

Um corpo de prova sob tração com área de seção transversal A é submetido a uma força axial P. Determine a tensão de cisalhamento média máxima no corpo de prova e indique a orientação θ de uma seção na qual ela ocorre.

Passo 1

Oláaa, querido!

Então, ele quer saber a tensão de cisalhamento máxima que pode haver nesse elemento e em que seção (qual orientação θ da seção inclinada) essa tensão máxima ocorre.

Bem, uma forma de a gente resolver essa é escrever a tensão de cisalhamento em uma seção inclinada, de orientação genérica θ . E depois ver para qual valor de θ vamos ter o maior valor da tensão.

E aí a gente precisa começar achando a carga de cisalhamento resultante na nossa seção inclinada.

Para fazer isso, precisamos cortar nossa peça na seção inclinada, escolher um lado e fazer o diagrama de corpo livre da situação nova. Vamos cortar nosso elemento em um plano que faz θ com a horizontal e olhar só para a esquerda. Assim:

Aí percebe que a gente posiciona nessa seção o vetor que representa essa força interna. A força de cisalhamento V a deve ser paralela a seção.

O sentido dos vetores aqui é mais arbitrário mesmo, tá? Cê escolhe. O importante é respeitar os referenciais que escolher nas continhas. Vamos seguir!

Passo 2

Agora é utilizar as equações de equilíbrio na direção x e achar   V .

∑ F x = 0 V - P cos ⁡ θ = 0

V = P cos ⁡ θ

Passo 3

Aí a gente quer achar a tensão média de cisalhamento. A tensão média é dada pela razão entre carga e área da seção onde ela é aplicada. Repara que só falta a gente achar a área da seção A então para usar achar a tensão.

O desenho da seção fica dessa forma.

Onde h 0   e   b são as dimensões da seção transversal da peça. A força vai atuar no plano inclinado (área sombreada), de área:

A = b h

Sendo que podemos achar h usando trigonometria:

s e n θ = h 0 h → h = h 0 s e n θ

E a área fica:

A = b × h = b h 0 s e n θ

Passo 4

Agora é calcular a expressão da tensão de cisalhamento:

τ = V A

Substituindo nossas expressões de V e A :

σ = P   c o s   ( θ ) b h 0 s e n θ

τ = P   c o s θ s e n θ b h 0

Agora vamos refletir. b e h 0 são dimensões da peça, logo elas não mudam, são constantes. Então τ apenas varia com θ . E percebe que ela é proporcional ao produto entre seno e cosseno.

Podemos pensar aqui na identidade trigonométrica:

2 cos ⁡ θ   s e n   θ = s e n   2 θ

cos ⁡ θ s e n   θ = s e n 2 θ 2

Substituindo isso na expressão da tensão:

τ = P   s e n 2 θ 2 b h 0

Agora nossa tensão é proporcional apenas ao seno. O maior valor de seno é 1 , ele ocorre quando o argumento do seno vale 90 ° . Para que isso aconteça ali, o valor de θ deve ser

θ = 45 °

Então é aí é onde ocorre o cisalhamento máximo.

Passo 5

Bem, ele quer o valor dessa tensão máxima. E só temos como dados o P e a área transversal da peça A .

Vamos olhar nossa expressão da tensão:

τ = P   s e n 2 θ 2 b h 0

Lembra que dissemos que b é a largura da seção transversal da peça e h 0 é a altura da seção transversal da peça. Percebe que a área transversal da nossa peça pode ser escrita como

A = b h 0

Subtituindo isso na expressão da tensão:

τ = P   s e n 2 θ 2 A

E a tensão máxima ocorre em θ = 45 ° :

τ = P   s e n 2 45 ° 2 A

τ = P   s e n 90 ° 2 A

τ = P 2 A

Resposta

τ = P 2 A

θ = 45 °

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