Enunciado

A barra rígida suporta um carregamento distribuído uniforme de 90   kN/m . Determine a força em cada cabo se cada um tiver área de seção transversal de 36   mm 2 e E = 200   GPa .

Passo 1

Uma barra está apoiada em um pino em A e por dois cabos em B e D . Um carregamento uniformemente distribuído é aplicado sobre a barra, fazendo-a girar ao redor de A .

Características dos cabos:

  • Módulo de elasticidade: E = 200   GPa
  • Área: A = 36   mm 2 .
  • Comprimento inicial: L 2 = 1 2 + 2 2 → L = 5   m .

O carregamento atua de cima pra baixo com 90   kN/m distribuído uniformemente em 3   m .

Quando a barra girar ao redor de A no sentido horário, os cabos B C e D C vão resistir com forças F B C e F D C .

Queremos saber o valor dessas forças!

Passo 2

Diagrama de corpo livre.

Vamos fazer o equilíbrio de momentos ao redor de A , assim as reações F A x e F A y não contribuem e não precisamos nos preocupar com elas.

Atenção que a força equivalente pra esse carregamento é de 90 ⋅ 3 = 270   kN atuando a 1,5   m de A .

∑ M A = 0 →   - 1,5   m ⋅ 270   kN + 1   m ⋅ F B C sen θ   +   3   m ⋅ F D C sen θ = 0

O ângulo θ é aquele formado com a horizontal pelas forças inclinadas.

sen θ = 2 5 →   F B C + 3 F D C = 202,5 5   kN

Temos duas incógnitas e uma equação. Não adianta vermos o equilíbrio de forças porque só vai adicionar mais incógnitas ( F A x e F A y ).

A condição de compatibilidade vai ter que nos dar outra equação!

Passo 3

A condição de compatibilidade dessa questão tem vários detalhes, vamos com calma.

Queremos relacionar as forças F B C e F D C , e sabemos que os fios vão ser esticados: B C vai aumentar um δ B C e D C aumenta δ D C . A fórmula que temos pra relacionar força com deslocamento é essa:

δ = F   L A   E

Beleza, vejamos como as cordas são deformadas. A barra é rígida e vai girar ao redor de A . Lembrando que estamos considerando pequenas deformações, veja a figura.

Os deslocamentos marcados, δ B e δ D , são o quanto os pontos B e D desceram após a rotação da barra (linha preta). Podemos relacioná-los usando a tangente do ângulo α :

δ B 1 = δ D 3 →   δ D = 3 δ B

Nós achamos uma relação entre deslocamentos da barra, porém estamos procurando deslocamentos das cordas. Veja na figura anterior como as cordas se esticam ao se manterem presas em B e D . Precisamos relacionar δ C com δ B C e δ D com δ D C para podermos continuar.

Passo 4

Com o giro da barra, o ponto B vai descer, então em tese o ângulo ϕ na figura vai mudar para algum ϕ ' . Mas como estamos sempre assumindo pequenas deformações, essa mudança no ângulo é desprezível: ϕ ≈ ϕ ' .

Com a aproximação, as retas são praticamente paralelas, e aí o aumento δ B C da corda (reta inclinada) aparece como na figura acima. Escrevemos

δ B cos ϕ = δ B C

Confira que ϕ = 90 - θ nas figuras, então cos ϕ = sen θ = 2 / 5 .

δ B = 5 2 δ B C

Como a corda D C   faz o mesmo ângulo θ com a horizontal, vai acontecer exatamente igual (mas isso não é sempre o caso, cuidado!):

δ D = 5 2 δ D C

Passo 5

Agora é só voltar de equação em equação até achar as forças.

δ D = 3 δ B → 5 2 δ D C = 3 ⋅ 5 2 δ B C

δ D C = 3 δ B C

Essa equação acima é finalmente a condição de compatibilidade da questão! Agora vamos pras forças:

δ = F   L A   E → F D C   L A   E = 3 F B C   L A   E

F D C = 3 F B C

Passo 6

Use F D C = 3 F B C na equação do equilíbrio de momentos:

F B C + 3 F D C = 202,5 5   kN → 10 F B C = 202,5 5   kN

F B C = 45,28   kN

F D C = 135,84   kN

Resposta

Força na corda B C :   F B C = 45,28   kN .

Força na corda D C :   F D C = 135,84   kN .

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