Enunciado

O conjunto é feito de aço A-36 e é composto por uma haste maciça de 15   m m de diâmetro conectada ao interior de um tubo por meio de um disco rígido em B . Determine o ângulo de torção em A . O tubo tem diâmetro externo de 30   m m e espessura de parede de 3   m m .

Passo 1

Olá, pessoal! Tudo bem? Vamos analisar essa questão?

O problema pede que determinemos o ângulo de torção em A .

E para isso nos fornece:

Aço A-36, portanto, G a ç o = 75 ⋅ 10 9   P a

d 0 A B = 15   m m = 0,015   m

d e B C = 30 m m = 0,03   m

e s p e s s u r a = 3 m m = 0,003   m

L A D = 0,1   m

L A B = 0,2   m

L B C = 0,3   m

Pode-se perceber pela imagem o ângulo na extremidade A é influenciado pelo ângulo no cilindro entre B e C e na haste de A   até B , mas não é influenciado pelo ângulo no tubo entre B e D por essa ser uma região sem contato direto com a haste que contém a extremidade A . Sendo assim:

ϕ A = ϕ A B + ϕ B C

Passo 2

Vamos agora calcular os valores dos torques que provocaram a mudança de cada ângulo. A ideia aqui é a mesma que a gente fazia para achar esforços internos. A gente vai cortar nossas seções, colocar a componente do torque interno e achar seu valor pelo equilíbrio.

A começar pelo torque ϕ A B .

Por ser uma secção sem torques intermediários, o torque na extremidade A é igual ao T A B .

T A B = T A = 50   N ⋅ m

Já torque T B C tem interferência do torque no ponto B , que é somado ao torque A por ambos serem no mesmo sentido. Para equilibrar, devemos ter

T B C = T A + T B = 80   N ⋅ m

Passo 3

Com os torques determinados, nos resta apenas determinar os momentos polares de inércia e achar o valor do ângulo de torção.

A região A B é uma haste maciça de diâmetro igual a 15   m m , logo,

J = π 2 c 4 = π 2 0,0075 4 = 4,970 ⋅ 10 - 9   m 4

A região B C é um tubo de diâmetro externo igual a   30 m m e espessura de 3 m m . Logo seu raio interno é 12   m m :

J = π 2 c 2 4 - c 1 4 = π 2 0,015 4 - 0,012 4 = 4,695 ⋅ 10 - 8   m 4

Passo 4

O ângulo ϕ A é dado por:

ϕ A = ϕ A B + ϕ B C

Sendo que:

ϕ A B = T A B ⋅ L A B J A B ⋅ G = 50 ⋅ 0,1 + 0,2   4,970 ⋅ 10 - 9 ⋅ 75 ⋅ 10 9 = 0,0402   r a d

ϕ B C = T B C ⋅ L B C J B C ⋅ G = 80 ⋅ 0,3   4,695 ⋅ 10 - 8 ⋅ 75 ⋅ 10 9 = 0,006815   r a d

Logo:

ϕ A = 0,0402 + 0,006815 = 0,047015   r a d

Convertendo para graus:

0,047015   r a d ⋅ 180 π = 2,693 °

ϕ A = 2,693 °

Resposta

ϕ A = 2,693 °

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