Enunciado

Uma corda elástica é esticada entre dois pontos A e B , separados de 16 cm no mesmo plano horizontal. Quando esticada diretamente entre A e B , a tração na corda é de 10 N. A corda é, então, esticada como mostra a figura até o seu ponto médio C ser movido de 6 cm para C ' ; uma força de 60 N é necessária para manter a corda em C ' . Uma bolinha de 100 g é colocada em C ' e a corda é liberada. Determine a velocidade que a bolinha passa por C .

Passo 1

Vamos lá! Nesta questão precisamos determinar a velocidade que uma bolinha passa por C Para isto, iremos utilizar o princípio de conservação de energia, que nos diz que:

T 1 + V 1 = T 2 + V 2

De início sabemos que o bloco partirá do repouso. Portanto, T 1 = 0 . Em relação as energias potenciais, sabemos que temos apenas a contribuição da energia elástica, visto que não há variação na cota da esfera.

Desta forma, substituindo as relações de cada energia, temos:

k x 1 2 2 = m v 2 2 + k x 2 2 2

v = k x 1 2 - x 2 2 m

E agora temos um problemão! Quem é a constante elástica k ? E as deformações x 1 (relacionada ao comprimento A C ' B ) e x 2 (relacionada ao comprimento A C B )da mola? Este último não podemos calcular pois não sabemos o comprimento sem deformação da mola!

Bom, vamos tratar cada um desses problemas devagar.

Passo 2

Começaremos escrevendo a deformação e a equação da força relativa a cada um dos estados da nossa corda.

Vamos começar pelo estado 2, em que ela está esticada entre os pontos A e B , mas passando por C . Aqui, a deformação é:

x 2 = 0,16 - l

E a força, que foi dada na questão, pode ser calculada através da seguinte relação:

F = k x

10 = k 0,16 - l

E assim chegamos a nossa primeira equação, que correlaciona k e o comprimento inicial l (e x 2 automaticamente né!).

Uma equação, duas incógnitas. Para resolvermos ela, vamos precisar montar um sistema com outra equação. E como faremos isto? Bom, vamos analisar o outro estado da nossa corda!

Passo 3

Agora vamos basicamente repetir o Passo 2, só que para a corda passando pelo ponto C ' . Para auxiliar na visualização da geometria, vejamos um esboço abaixo:

A força que traciona a corda é F 1 . Como ela está em equilíbrio, o somatório de forças no ponto C ' é igual a zero. Portanto,

∑ F x = 0

F 1 cos ⁡ θ + F 1 cos ⁡ θ - 60 = 0

F 1 = 60 2 cos ⁡ θ = 60 2 cos ⁡ 53,13 = 50   N

OBS: Calculamos o ângulo θ através da geometria do problema fazendo θ = arctan ⁡ 8 / 6 .

E assim como fizemos no Passo 2,

F 1 = k x 1

50 = k 0,20 - l

E assim chegamos a nossa segunda equação com duas incógnitas!

OBS: O comprimento de 20 cm também foi obtido da geometria do problema (Pitágoras)!

Passo 4

Agora que temos duas equações com duas incógnitas, vamos resolver o nosso sistema para descobrir este comprimento inicial e a constante elástica. Portanto,

10 = k 0,16 - l 50 = k 0,20 - l ⟹ 10 0,20 - l = 50 0,16 - l ⟹ l = 0,15   m

Como a corda tem comprimento inicial, sem deformação, de l = 0,15   m , as deformações e a constante elástica são:

k = 1000   N / m x 1 = 0,05   m x 2 = 0,01   m

Passo 5

E assim chegamos aos momentos finais da nossa questão. Agora, basta substituirmos os valores obtidos no Passo 4 lá na relação da velocidade que desenvolvemos no Passo 1.

Desta forma,

v = k x 1 2 - x 2 2 m

v = 1000 0,05 2 - 0,01 2 0,1 = 4,9   m / s

E assim finalizamos a nossa questão!

Resposta

v = 4,9   m / s

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