Enunciado

O corpo caindo com velocidade v 0 colide e mantém contato com a plataforma apoiada por um jogo de molas. A aceleração do corpo após o impacto é a = g - c y , onde c é uma constante positiva e y é medido a partir da posição original da plataforma. Se a compressão máxima das molas é observada como y m , determine a constante c .

Passo 1

Depois que o bloco cai sobre as molas, ele vai comprimi-las até y m , aonde ele para e depois torna a subir, certo?

Isso quer dizer que y m é o ponto onde a velocidade do sistema é nula. Ou seja, temos duas informações:

a = g - c y

y = y m         ⇒         v = 0

Como podemos relacionar essas grandezas?

a = d v d t = d v d y   d y d t = v d v d y

a   d y = v   d v

Passo 2

Vamos integrar os dois lados dessa equação diferencial:

∫ 0 y m a   d y = ∫ v 0 0 v   d v

Perceba que o deslocamento vai de y = 0 até y = y m enquanto a velocidade vai de um valor inicial v 0 até o zero.

∫ 0 y m ( g - c y )   d y = ∫ v 0 0 v   d v

g y m - c y m 2 2 = - v 0 2 2

2 g y m - c y m 2 = - v 0 2

c = 2 g y m + v o 2 y m 2

Pronto!

Resposta

A constante c vale 2 g y m + v o 2 y m 2 .

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