Enunciado

Um corpo que se move em uma linha reta entre dois pontos A e B afastados de uma distância de 50   m tem uma velocidade cujo quadrado aumenta linearmente com a distância percorrida, como mostra o gráfico. Determine o deslocamento ∆ s do corpo durante os últimos 2 segundos antes da chegada em B .

Passo 1

Vamos começar descobrindo qual é a aceleração do corpo:

a = d v d t

a = d v d s d s d t = v d v d s

O problema agora é escrever essa fórmula em função de v 2 :

d d v v 2 = 2 v

d v = d v 2 2 v

Substituindo isso na equação:

a = v ( 2 v ) d v 2 d s = 1 2 d v 2 d s

Beleza, agora sabemos que a aceleração é a metade da derivada do gráfico do enunciado.

Passo 2

Vamos calcular essa derivada:

d v 2 d s = 36 - 16 80 - 30 = 20 50 = 2 5

E então a aceleração é:

a = 1 2 . 2 5 = 1 5   m / s 2

Queremos calcular o deslocamento nos últimos dois segundos antes do corpo chegar até a posição B , para isso precisamos descobir em qual instante (considerado t = 0 no ponto A ) isso acontece:

v = v 0 + a t

36 = 16 + 1 5 t

6 = 4 + t 5

t = 10   s

Como queremos os últimos dois segundos, nosso problema é obter o deslocamento entre t = 8 e t = 10 .

Passo 3

Beleza, então vamos ver qual era a velocidade no ponto t = 8   s :

v = v 0 + a t

v = 4 + 1 5 8 = 5,6   m / s

E agora podemos usar a equação de Torricelli para calcular qual distância é percorrida para ir dessa velocidade v = 5,6   m / s até a velocidade v = 6   m / s que ocorre no ponto B .

v 2 = v 0 2 + 2 a Δ s

36 = 31,36 + 2 5 Δ s

Δ s = 11,6   m

Resposta

O deslocamento do corpo nos últimos dois segundos é de 11,6   m .

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