Enunciado

Uma corrente é suspensa entre pontos na mesma altura e espaçados de uma distância de 60 m. Se tiver uma massa por unidade de comprimento de 8 kg/m e a flecha for 3 m, determine a tração máxima na corrente.

Passo 1

E aí Pessoal, tudo bem? Vamos dar início a mais uma questão juntos!

Nesta questão nós precisamos determinar a tração máxima na corrente, sabendo que ela possui uma massa por unidade de comprimento de 8 kg/m e flecha de 3 m.

Para auxílio podemos sempre ir no Exemplo 7.13, pois esta questão possui a mesma geometria que este exemplo.

Então, para determinarmos a tração máxima, precisamos determinar a equação da curva que define a corrente. E para isto, como a corrente está sujeito ao próprio peso, temos que começar resolvendo a seguinte integral:

x = ∫ d s 1 + 1 F H 2 ∫ w s d s 1 / 2

Para nossa alegria, já sabemos que o resultado da integração acima é:

x = F H w 0 senh - 1 ⁡ 1 F H w 0 s + C 1 + C 2

Sendo o peso da corrente dado por:

w 0 = 9,81 ⋅ 8 = 78,48   N / m

Passo 2

Agora temos que descobrir quem as constantes da nossa equação. Para isto, teremos que aplicar as condições de contorno do problema.

Para o sistema de coordenadas fixado no ponto de mínimo da corda, teremos as seguintes condições: s = 0 em x = 0 e d y d x s = 0 = 0 . Só que possamos aplicar estas condições, temos que manipular as nossas relações

Vamos começar aplicando d y d x s = 0 = 0 . Para isto, precisamos lembrar que:

d y d x = 1 F H ∫ w s d s

d y d x = 1 F H ∫ w 0 d s = 1 F H w 0 s + C 1

Sendo esse C 1 o mesmo da equação que obtivemos no Passo 1. Então, aplicando a condição, temos:

d y d x s = 0 = 1 F H w 0 ⋅ 0 + C 1 = 0 ⟹ C 1 = 0

Aplicando a condição que s = 0 quando x = 0 , temos:

0 = F H w 0 senh - 1 ⁡ 1 F H w 0 ⋅ 0 + C 2 ⟹ C 2 = 0

E assim chegamos à relação:

x = F H w 0 senh - 1 ⁡ 1 F H w 0 s

E consequentemente,

s = F H w 0 senh ⁡ w 0 x F H

Passo 3

Para que a gente consiga descobrir quem é F H , vamos ter que obter uma função do tipo y = f x .

Mas, no Passo 2 nós já escrevemos uma relação para d y / d x . Trabalhando com esta relação, teremos:

d y d x = w 0 s F H = senh ⁡ w 0 x F H

y = F H w 0 cosh ⁡ w 0 x F H + C 3

Precisamos aplicar novamente condições de contorno! Quando x = 0 , temos y = 0 . Logo,

0 = F H w 0 cosh ⁡ 0 + C 3 ⟹ C 3 = - F H w 0

E por fim, quando x = 30   m , temos y = 3   m . Logo,

y = F H w 0 cosh ⁡ w 0 x F H - F H w 0

3 = F H 78,48 cosh ⁡ 78,48 ⋅ 30 F H - F H 78,48

Resolvendo a equação acima nós obtemos F H = 11811   N = 11,8   k N .

Passo 4

Agora que a gente já obteve o valor de F H , nós já podemos calcular a tração máxima na corrente. Esta tração ocorrerá no ponto de maior inclinação. Isto é, o ponto em que d y / d x for máximo.

Para esta questão, como d y d x = senh ⁡ w 0 x F H , obtido no Passo 2, então, a inclinação será máxima nas extremidades, em x = ± 30   m .

Escolhendo x = 30 , teremos θ m á x = arctan ⁡ d y d x x = 30 = arctan ⁡ 0,2 = 11,3 ° .

Por fim, a tração máxima será:

T m á x = F H cos ⁡ θ m á x = 11,8 ⋅ 10 3 cos ⁡ 11,3 ° = 12   k N

E assim finalizamos a questão!

Resposta

T m á x = 12   k N

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