Enunciado

O deslocamento de uma partícula que se move ao longo do eixo s é dado por s = - 2 + 3 t e - 0,5 t , onde s é em metros e t é em segundos. Represente graficamente o deslocamento, a velocidade e a aceleração contra o tempo para os primeiros 20 segundos de movimento. Determine o instante em que a aceleração é zero.

Passo 1

Vamos começar encontrando as funções da posição, da velocidade e da aceleração. Precisamos lembrar dessa relação:

a t = d d t v t = d 2 d t 2 s ( t )

O enunciado já deu a função s ( t ) . Para encontrar v ( t ) , precisamos derivar:

v t = d d t - 2 + 3 t e - 0,5 t

Aqui precisamos usar a regra do produto para derivar:

v t = e - 0,5 t d d t - 2 + 3 t + - 2 + 3 t d d t ( e - 0,5 t )

v t = 3 e - 0,5 t + 1 - 3 2 t e - 0,5 t

Passo 2

E para encontrar a ( t ) precisamos derivar mais uma vez

a t = d d t 3 e - 0,5 t + 1 - 3 2 t e - 0,5 t

E precisamos aplicar a regra do produto apenas no segundo termo:

a t = - 3 2 e - 0,5 t - 3 2 e - 0,5 t + 3 4 t - 1 2 e - 0,5 t

a t = - 3 2 - 3 2 + 3 4 t - 1 2 e - 0,5 t

a t = - 7 2 + 3 4 t e - 0,5 t

Passo 3

E agora precisamos representar as três funções graficamente nos primeiros 20 segundos:

s ( t ) = - 2 + 3 t e - 0,5 t

v t = 4 - 3 2 t e - 0,5 t

a t = - 7 2 + 3 4 t e - 0,5 t

Esse é um gráfico bem mais difícil de desenhar: é melhor fazer numericamente!

Começando pela s ( t ) , vamos calcular alguns pontos, colocá-los no gráfico e desenhar uma curva de comportamento exponencial:

Nesse caso apenas 6 pontos foram suficientes para fazer um bom esboço.

Passo 4

Para fazer os outros dois gráficos você tem duas opções: resolver numericamente também ou traçar a derivada no “olhômetro”.

Vamos traçar o gráfico da velocidade numericamente, não é preciso calcular muitos pontos:

E fazendo a mesma coisa para a aceleração:

Passo 5

O próximo passo é determinar o instante em que a aceleração é zero. Retomando a nossa função:

a t = - 7 2 + 3 4 t e - 0,5 t

E igualando a zero:

- 7 2 + 3 4 t e - 0,5 t = 0

A exponencial nunca vai ser igual a zero, então podemos dividir ambos os lados por e - 0,5 t :

- 7 2 + 3 4 t = 0

3 4 t = 7 2

t = 28 6 ≅ 4,67   s

E esse é o instante em que a aceleração é nula.

Resposta

A aceleração é zero no instante t ≅ 4,67   s .

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