Enunciado

A posição de uma partícula é dada por s = 2 t 3 - 40 t 2 + 200 t - 50 , onde s é em metros e t é em segundos. Represente graficamente a posição, velocidade e aceleração como funções do tempo para os primeiros 12 segundos de movimento. Determine o instante em que a velocidade é zero.

Passo 1

O enunciado menciona três funções: posição, velocidade e aceleração. Nós podemos obter as duas últimas apenas derivando a primeira!

v t = d d t s ( t )

a t = d d t v t = d 2 d t 2 s ( t )

Para fazer os gráficos, precisamos primeiro achar a função, e depois calcular alguns pontos e traçar a curva.

Passo 2

Começando pela posição, temos:

s t = 2 t 3 - 40 t 2 + 200 t - 50

Uma boa estratégia aqui é calcular s ( t ) apenas nos números pares, o que já é suficiente para traçar um bom esboço.

Posicionando os pontos no plano, o resultado deve ser algo parecido com isso:

Passo 3

Agora vamos obter a função da velocidade:

v t = d d t s t = d d t 2 t 3 - 40 t 2 + 200 t - 50

v t = 6 t 2 - 80 t + 200

E seguindo o mesmo procedimento, o gráfico deve ter essa forma:

Passo 4

Agora vamos derivar mais uma vez para encontrar a aceleração:

a t = d d t v t = d d t 6 t 2 - 80 t + 200

a t = 12 t - 80

Agora estamos lidando com uma reta, que é bem mais fácil de desenhar: basta ter dois pontos!

O primeiro, e mais fácil, é o ponto onde a reta cruza o eixo y , que nesse caso é ( 0 , - 80 ) . E o segundo pode ser qualquer outro. Independente da sua escolha, o resultado deve ser algo assim:

Passo 5

E agora queremos achar o instante em que a velocidade é zero. Nós já achamos esse ponto no passo 3 , mas vamos encontra-lo de outra forma:

v t = 6 t 2 - 80 t + 200 = 0

Vamos dividir tudo por 2 para facilitar:

3 t 2 - 40 t + 100 = 0

E agora podemos procurar as raízes dessa equação quadrática:

t = 40 ± 1600 - 4 3 100 6 = 40 ± 400 6 = 40 ± 20 6

E as duas soluções serão:

t 1 = 40 + 20 6 = 60 6 = 10   s

t 2 = 40 - 20 6 = 20 6 ≅ 3,33   s

E nesses dois pontos a velocidade é zero.

Resposta

A velocidade é nula nos instantes t = 10   s e t ≅ 3,33   s .

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