Enunciado

Determinar o ângulo θ para haver equilíbrio e investigar a estabilidade nessa posição. As hastes possuem massa de 10   k g cada e a mola tem comprimento não deformado de 100   m m .

Passo 1

Fala galera, tudo certo? Bora fazer mais um exercício? Prometo que vai ser bem rapidinho!

O enunciado nos pede para determinar o ângulo θ necessário para que o corpo esteja em equilíbrio e, posteriormente, avaliar a estabilidade para essa posição. Considerando que a mola não deformada tem comprimento igual a 100   m m e as hastes possuem massa de 10   k g .

Então bora lá! Para resolver esse problema, vamos começar analisando o diagrama de corpo livre:

Onde a distância y é:

y = 500 2 sen ⁡ θ

y = 250 sen ⁡ θ

A deformação s da mola, por sua vez, é dada por:

2 * 500 cos ⁡ θ = 500 + 100 + s

s = 1000 cos ⁡ θ - 500 - 100

s = 1000 cos ⁡ θ - 600

E o peso W da haste:

W = 10 * 9,81

W = 98,1   N

Passo 2

Show de bola! Vamos começar então formulando a equação da energia potencial V desse sistema. Como temos atuando apenas o peso da haste e a força exercida pela mola, a energia potencial do sistema é dada por:

V = V g + V s

V = 2 W y + 1 2 k s 2

V = 2 * 98,1   * 250 sen ⁡ θ + 1 2 * 1,5 * 1000 cos ⁡ θ - 600 2

V = 49050 sen ⁡ θ + 0,75 1000 cos ⁡ θ - 600 2

Passo 3

Beleza, agora que nós temos a equação da energia potencial do sistema, para analisar o equilíbrio do corpo, podemos simplesmente fazer a derivada de V em relação a θ e o resultado deve ser zero. Ou seja:

d V d θ = 0

d d θ 49050 sen ⁡ θ + 0,75 1000 cos ⁡ θ - 600 2 = 0

49050 cos ⁡ θ - 1500 sen ⁡ θ 1000 cos ⁡ θ - 600 = 0

Resolvendo essa expressão encontramos:

θ 1 = 4,713 °

θ 2 = 51,225 °

Passo 4

Até aqui tudo certo né? Definimos o ângulo θ para que o sistema esteja em equilíbrio, para determinar a estabilidade do corpo, por sua vez, precisamos analisar derivada de segunda ordem da equação da energia potencial em relação a θ .

d 2 V d θ 2 = d 2 d θ 2 49050 sen ⁡ θ + 0,75 1000 cos ⁡ θ - 600 2

d 2 V d θ 2 = d d θ 49050 cos ⁡ θ - 1500 sen ⁡ θ 1000 cos ⁡ θ - 600

d 2 V d θ 2 = - 49050 sen ⁡ θ - 1500 cos ⁡ θ 1000 cos ⁡ θ - 600 - 1000 sen 2 ⁡ θ

Neste caso existem três possibilidades:

d 2 V d θ 2 < 0 :   e q u i l í b r i o   i n s t a v e l d 2 V d θ 2 = 0 : e q u i l í b r i o   n e u t r o   d 2 V d θ 2 > 0 : e q u i l í b r i o   e s t a v e l

Para a posição de equilíbrio com θ 1 = 4,713 ° :

d 2 V d θ 2 = - 49050 sen ⁡ 51,225 °

- 1500 cos ⁡ 4,713 ° 1000 cos ⁡ 4,713 ° - 600 - 1000 sen 2 ⁡ 4,713 °

d 2 V d θ 2 = - 586820 < 0

Logo, a estrutura está em equilíbrio, mas não está estável.

Já para a posição de equilíbrio com θ 2 = 51,225 ° :

d 2 V d θ 2 = - 49050 sen ⁡ 51,225 °

- 1500 cos ⁡ 51,225 ° 1000 cos ⁡ 51,225 ° - 600 - 1000 sen 2 ⁡ 51,225 °

d 2 V d θ 2 = 848779 > 0

Logo, a estrutura está em equilíbrio e está estável.

É isso, galera. Até que foi de boa né?

Partiu pra próxima!

Resposta

θ 1 = 4,713 ° : e m   e q u i l i b r i o   m a s   i n s t a v e l

θ 2 = 51,225 ° : e m   e q u i l i b r i o   e   e s t á v e l

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