Enunciado

Determinar a carga uniformemente distribuída admissível w , para a viga mostrada, sabendo-se que σ a d m = + 70   M P a na tração, σ a d m = - 130   M P a , na compressão, e que τ a d m = 60   M P a .

Passo 1

Oi, fala aí, galerinha!!! Para resolver esse problema a gente vai seguir o seguinte passo a passo:

  1. Calcular o módulo resistente da seção W .
  2. Calcular a força cortante, o momento fletor e achar o momento fletor máximo em função de w .
  3. O momento fletor calculado pode ser utilizado para calcular novamente o módulo resistente, dessa forma, vamos comparar os dois e assim poderemos achar o valor máximo de w

Então partiu pro exercício!

Passo 2

Vamos calcular o módulo resistente da seção:

W = I c

Onde I é o momento de inércia e c maior distância entre a linha neutra e a superfície da peça. Vamos calcular o momento de inércia então, mas primeiro precisamos achar a linha neutra:

y - = ∑ A   .     y - ∑ A

Temos duas áreas, cada uma representando um retângulo então vamos ter:

y - = 40 × 15 × 7,5 + 60 × 15 × 45 40 × 15 + ( 60 × 15 )

Logo a posição da linha neutra será em:

y - = 45000 1500 = 30   m m

Passo 3

Show! Agora podemos achar o momento de inércia, utilizando a equação do momento de inércia para uma barra retangular e o teorema dos eixos paralelos:

I b a r r a = 1 12 b h 3

I = I 0 + A d 2

Onde d é a distância entre o centroide da figura e a linha neutra.

Calculando:

I = I 1 + I 2

I 1 = I b a r r a 1 + A 1 d 1 2

I 1 = 1 12 0,040 0,015 3 + 0,040 0,015 0,030 - 0,0075 2

I 1 = 1,125 × 10 - 8 + 3,0375 × 10 - 7

I 1 = 3,15 × 10 - 7   m 4

Agora para a segunda barra (vertical)

I 2 = I b a r r a 2 + A 2 d 2 2

I 2 = 1 12 0,015 0,060 3 + 0,015 0,060 0,045 - 0,030 2

I 2 = 2,7 × 10 - 7 + 2,025 - 7

I 2 = 4,725 × 10 - 7   m 4

Agora é só somar:

I = I 1 + I 2

I = 7,875 × 10 - 7   m 4

Passo 4

Quase lá, galera!!! Falta só aplicar a distância c :

W = I c

Como o problema diferencia a carga admissível para a tração a para a compressão a gente tem que fazer esta distinção aqui também, issi influencia diretamente no c .

Para tração (que ocorre na parte inferior da barra) vamos ter:

c = 30 m m

W t r a ç ã o = 7,875 × 10 - 7 0,030

W t r a ç ã o = 2,625 × 10 - 5   m 3

Já para a compressão (que ocorre na parte superior da barra) vamos ter:

c = 75   m m - 30   m m = 45 m m

W c o m p r e s s ã o = 7,875 × 10 - 7 0,045

W c o m p r e s s ã o = 1,75 × 10 - 5   m 3

Passo 5

Agora vamos atacar a parte referente ao carregamento:

Calculando as forças resultantes, e observando que, como não há forças horizontais então A x = 0 :

∑ F y = 0

A y - w × 0,6 + B y = 0

A y + B y = 0,6 w

Agora o somatório do momento:

∑ M A = 0

w × 0 , 6 × 0 , 3 - B y × 0,4 5 = 0

B y = 0,4 w

Assim,

A y = 0,2 w

Não tem problema ficar em função de w é assim mesmo!

Passo 6

Agora vamos ter que achar de fato o momento fletor máximo. Para isso a gente tem que achar o ponto onde a força cortante é igual a zero, vamos fazer isso!

V x = A y - w x

V x = 0,2 w - w x

Igualando a zero:

0,2 w - w x = 0

w 0,2 - x = 0

Percebe-se, portanto, que

x = 0,2   m

Calculando o momento fletor para essa posição:

M m á x = w × 0,2 × 0,2 2

M m á x = 0,02 w

Passo 7

Agora vamos achar o momento resistente mínimo que a viga deve possuir W m í n , que é dado por:

W m í n = M m á x σ a d m

Novamente vamos ter que fazer em duas etapas, uma para tração e outra para a compressão. Começando pela tração:

W m í n   T = 0,0 2 w 70 × 10 6

Como o carregamento w normalmente é dado em k N / m podemos multiplicar o numerador por 1000

W m í n   T = 20 w 70 × 10 6

W m í n   T = 0,286 w × 10 - 6   m 3

Para a compressão:

W m í n   C = 20 w 130 × 10 - 6

W m í n   C = 0,154 w × 10 - 6   m 3

Passo 8

Agora é só comparar esses módulos resistentes. Primeiro para a tração:

W t r a ç ã o = 2,625 × 10 - 5   m 3

W m í n   T = 0,286 w × 10 - 6   m 3

Igualando os dois termos:

2,625 × 10 - 5   = 0,286 w × 10 - 6    

w T = 2,625 × 10 - 5   0,286 × 10 - 6

w T = 91,78   k N / m

Para a compressão:

W c o m p r e s s ã o = 1,75 × 10 - 5   m 3

W m í n   C = 0,154 w × 10 - 6   m 3

Igualando os dois termos:

1,75 × 10 - 5   = 0,154 w × 10 - 6  

w C = 1,75 × 10 - 5 0,154 × 10 - 6

w C = 113,64   k N / m

Como temos de obdecer aos dois critérios ao mesmo tempo vamos ter que escolher o menor carregamento, desta forma:

w = 91,78   k N / m

Resposta

w = 91,78   k N / m

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