Enunciado

Determinar a dimensão d para que a coluna de aluminío e de aço tenham o mesmo peso e, calcule a carga crítica para cada uma das colunas

Passo 1

Fala meu povo, tudo certo? Vamos devagarzinho resolvendo passo a passo, nossa primeira meta é relacionar os pesos da coluna e encontrar as dimensões da coluna de aço para calcular o momento de inércia que vai nos levar ao peso crítico dela, lembrando que o peso é dado por.

P = γ × V o l u m e

E com cada peso específico:

γ a l = 28 k N / m 3

γ a ç o = 80 k N / m 3

Após isso encontraremos o peso crítico para cada coluna usando:

P C R T = π 2 E I L e 2

Na figura do enunciado fica claro que a coluna é bi-rotulada então não há alterações no comprimento efetivo da mesma.

Passo 2

Vamos colocar a fórmula do peso do alumínio aqui.

P a l u m = γ V = A × L × γ a l

E o enunciado nos diz que os pesos precisam ser iguais então:

P a l u m = P a ç o

γ a l × A a l × L = γ a ç o × A a ç o × L

Isolando a área do aço que nos interessa:

A a ç o = γ a l γ a ç o × A a l

Substituindo os valores temos:

A a ç o = 28 80 × 25 × 25 = 218,75 m m 2

E enfim por ser uma coluna quadrada:

A a ç o = d 2

E isolando d, temos:

d = A a ç o = 218,75 = 14,8 m m

Aqui vale um comentário, o gabarito do livro apresenta resposta do diâmetro como 148mm porém isso não condiz com as outras respostas que poderão ser observadas no desenrolar da questão.

Passo 3

Agora que temos tudo, mãos a obra e vamos começar pela coluna de alumínio.

A coluna de alumínio é quadrada, ou seja, não possui eixo fraco e seu momento de inércia é:

I x = I y = d 4 12 = 25 4 12 = 32,55 × 10 3 m m 4

Assim nosso P crítico será, substituindo os valores na fórmula apresentada no passo 1. E detalhe que aqui vale trabalhar com tudo em milímetros e também com gigapascal que é newton/mm², pois assim a gente só precisa converter o comprimento da coluna.

E com:

E = 70 G P a

E aí usamos a equação:

P C R T = π 2 E I L e 2

Substituindo temos:

P C R T = π 2 × 70 × 32,55 × 10 3 1800 2 = 6,94 k N  

Para o alumínio (a):

P C R ( a l ) = 6,94 k N

Passo 4

A coluna de aço também é quadrada, ou seja, não possui eixo fraco e seu momento de inércia é:

I x = I y = d 4 12 = 14,8 4 12 = 4 × 10 3 m m 4

Com:

E a ç o = 200 G P a

Daí usamos a equação da cara crítica:

P C R T = π 2 E I L e 2

Substituímos os valores na fórmula:

P C R ( a ç o ) = π 2 × 200 × 4 × 10 3 1800 2 = 2,43 k N

Resposta

P C R ( a l ) = 6,94 k N

d = 14,8 m m

P C R ( a ç o ) = 2,43 k N

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