Enunciado

Determine a aceleração angular de cada uma das duas rodas, enquanto rolam sem deslizar para baixo nos planos inclinados. Para a roda A , examine o caso em que a massa do aro e dos raios é desprezível e a massa da barra está concentrada ao longo da sua linha de centro. Para a roda B , assuma que a espessura do aro é desprezível em comparação com o seu raio, de modo que toda a massa está concentrada no aro. Especifique também o coeficiente de atrito estático mínimo μ s necessário para evitar que cada uma das rodas deslize.

Passo 1

Para o caso da roda A , se a massa do aro e dos raios é desprezivel, e o eixo em relação ao qual calculamos o momento de inércia está exatamente sobre a barra, então:

I = 0

E consequentemente:

∑ M O = 0

Para satisfazer essa condição, a força de atrito deve ser nula, e então:

μ s = 0

Ainda pensando nesse caso, podemos aplicar a segunda lei de Newton sobre a direção paralela ao plano:

∑ F x = m a x

E a única força agindo nessa direção é uma das componentes da força peso:

m g sen ⁡ θ = m a

E se a roda gira sem deslizar, então a = r α , e portanto:

m g sen ⁡ θ = m r α

α = g r sen ⁡ θ

Passo 2

Para o caso B , vamos escrever uma equação para o momento resultante em relação ao ponto de contato C   da roda com o plano.

∑ M C = I C α

Nesse caso, o momento gerado pela força de atrito é nulo, e ficamos apenas com o momento da força peso:

m g   r sen ⁡ θ = I C α

O momento de inércia do aro em relação a um eixo que passa pelo ponto C é:

I C = 2 m r 2

Então:

m g r sen ⁡ θ = 2 m r 2 α

α = g 2 r sen ⁡ θ

Passo 3

E agora, com esse resultado, podemos escrever a mesma equação em relação ao centro de massa do aro, de forma que a momento do peso seja nulo, e ficamos apenas com o momento da força de atrito F .

Com isso poderemos calcular F , e consequentemente μ s :

∑ M c m = I c m α

E agora o momento de inércia é I c m = m r 2 :

F r = m r 2 g 2 r sen ⁡ θ

F = 1 2 m g sen ⁡ θ

Agora vamos lembrar da expressão para a força de atrito:

F = μ s N

E sabemos que o módulo da força normal é N = m g cos ⁡ θ :

μ s = F N = 1 2 m g sen ⁡ θ m g cos ⁡ θ = 1 2 tan ⁡ θ

Resposta

No primeiro caso temos α = g r sen ⁡ θ e μ s = 0 . No segundo temos α = g 2 r sen ⁡ θ e μ s = 1 2 tan ⁡ θ .

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