Enunciado

Determine o momento de inércia I x e expresse o resultado em termos da massa total m do cone. A esfera possui densidade constante ρ .

Passo 1

Fala aí, galerinha do Responde aí. Tudo beleza? Vamos fazer mais uma questão de Estática.

Este problema nos pede para determinarmos o momento de inercia em relação ao eixo x da figura em termos da massa. Sabemos que ele é dado por:

I x = ∫ y 2   d A

Onde y é a distância perpendicular do eixo até o elemento d m . Primeiro, temos que determinar o elemento diferencial:

Em seguida, como o corpo é constituído por um material de densidade ρ , temos que:

d m = ρ   d V = ρ π y 2   d x = π ρ r 2 - x 2   d x

Passo 2

Com isso, vamos calcular o momento de inercia do elemento, ele é dado por:

d I x = y 2 2 d m = 1 2 ρ π r 2 - x 2     d x

Integrando a equação por toda a esfera, temos:

I x = ∫ - r r 1 2 ρ π r 2 - x 2 2   d x   I x = 8 15 π ρ r 5

Opa, encontramos o momento de inercia, porém, o enunciado nos pede para encontramos o momento em termos da massa. Por isso, vamos determinar a massa:

m = ∫ ρ   d V = ∫ - r r ρ r 2 - x 2   d x   m = 4 3 π ρ r 3

Por fim, basta substituirmos a massa no momento de inercia. Assim, o nosso resultado vai ser:

I x = 2 5 m r 2

É isso, galera, Bora resolver mais questões pra ficar craque.

Resposta

I x = 2 5 m r 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Você deseja localizar o centro de gravidade de um objeto achatado e de formato arbitrário. Você pendura o objeto de um ponto e um fio de prumo do mesmo ponto. Então, você traça uma linha vertical no o
Use o teorema dos eixos paralelos e o resultado do problema 41 para encontrar o momento de inércia do sistema de quatro partículas da figura 9-45 em relação a um eixo que passa pelo centro de massa e
Um cilindro oco tem massa m , raio externo R 2 e raio interno R 1 . Use integração para mostrar que o momento de inércia em relação a seu eixo é dado por I = 1 2 m ( R 2 2 + R 1 2 ) . Dica: reveja a s
Um disco uniforme de raio r e massa M gira em torno de um eixo horizontal paralelo ao seu eixo de simetria e que passa por um ponto de seu perímetro, de forma a poder oscilar livremente em um plano ve
Você pendura um aro fino de raio R em um prego na periferia do aro. Você o desloca lateralmente (dentro do plano do aro) até um ângulo β a partir de sua posição de equilíbrio e a seguir o liberta. Qua