Enunciado

Determine o ângulo theta entre a força e a linha A O .

Passo 1

Fala, querido! Queremos o ângulo entre a força F e o segmento A O .

Para determinarmos o nosso ângulo theta , precisaremos encontrar os vetores que compõem o nosso theta .

Como assim compõem? Relaxa querido, temos estes vetores aqui:

Ou seja, a gente pode achar um vetor na direção de A O . Aí nosso ângulo está entre dois vetores, vec F e A vec O .

E olha que lindo, temos uma fórmula para achar o ângulo entre dois vetores que vem da definição do produto escalar entre eles. Podemos usar essa belezinha aqui:

vec F * vec A O = cos theta |vec F| |vec A O|

cos theta = ((vec F * vec A O))/(|vec F| |vec A O|)

O que a gente precisa fazer é achar vec A O (porque o enunciado já deu vec F ), os módulos dos vetores, o produto escalar entre eles e depois jogar tudo nessa fórmulinha. Vamos lá!

Passo 2

Vamos primeiramente encontrar o vetor vec A O . Para isto, temos que encontrar os pontos A e O .

Para o ponto A :

A (1 , - 2,2) m

E para o ponto O :

O (0,0 , 0) m

Como temos os pontos A e O , ficou fácil determinar o vetor vec A O :

Para determinar um vetor a partir de pontos, basta aplicarmos esta fórmula aqui:

vec A O = {(x_f - x_i) i + (y_f - y_i) j + (z_f - z_i) k}

Considerando as coordenadas de A como inicial e as coordenadas de O como final, temos:

vec A O = {(x_O - x_A) i + (y_O - y_A) j + (z_O - z_A) k}

vec A O = {(0 - 1) i + (0 - (- 2)) j + (0 - 2) k}

vec A O = {- 1 i + 2 j - 2 k} m

Passo 3

Vamos determinar os módulos dos nossos vetores:

Determinando o módulo do vetor vec A O :

|vec A O| = sqrt(((- 1)^2 + (2)^2 + ( - 2)^2) = 3 m

Bem o vetor de vec F o enunciado já nos forneceu,

vec F = (- 6 i + 9 j + 3 k) k N

logo, vamos calcular apenas seu módulo.

|vec F| = sqrt((- 6)^2 + (9)^2 + (3)^2) = 11,2 k N

Passo 4

Vamos agora calcular o produto escalar entre nossos vetores:

vec A O * vec F = (- 1 i + 2 j - 2 k) * (- 6 i + 9 j + 3 k)

Não importa a ordem dos vetores quando a gente faz o produto escalar, tá? Daria o mesmo se fizéssemos vec F * vec A O .

Calculando

vec A O * vec F = (- 1) (- 6) + (2) (9) + (- 2) (3)

vec A O * vec F = 6 + 18 - 6

vec A O * vec F = 18

E como a ordem não faz diferença

vec F * vec A O = 18

Passo 5

Agora a gente joga nossos resultados na nossa fórmulinha do passo 1

cos theta = ((vec F * vec A O))/(|vec F| |vec A O|)

cos theta = (18)/((11,2) (3))

cos theta = (18)/(33,6)

Aplicado o arco cosseno, nosso ângulo theta é:

theta = cos^(- 1) {(18)/(33,6)}

theta = 57,6 °

Resposta

theta = 57,6 °

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