Enunciado

Determine a capacidade, em litros, da poncheira mostrada se R = 250   m m .

Passo 1

Fala aí galera, vamos pra mais um problema de estática. O problema quer que a gente determine o volume, em litros, da figura. Para isso, vamos utilizar o teorema de Pappus para volume. Primeiro, vamos dividir a vista frontal da nossa figura em duas. Fica assim:

Agora, precisamos encontrar o valor da altura. Vamos usar o teorema de pitágoras:

R 2 = R 2 2 + h 2

R 2 = R 2 4 + h 2 h = 3 2 R

Passo 2

Depois, sabemos que os centroides dessas figuras são conhecidos pois temos um triângulo retângulo e um arco de circunfência. Estes são dados por:

x - T = b 3               e             x - A = r sin ⁡ α α

Substituindo:

x - T = R 2 3

x - T = R 6

Para o arco de circunferência:

x - A = R sin ⁡ π 6 π 6

x - A = π R 2 6

Passo 3

Por fim, vamos usar a fórmula do teorema de pappus, para isso precisamos da área das figuras e da distância do eixo de rotação para o centro de massa de cada “projeção”:

A T = R 2 3 8

Substituindo:

V = 2 π x - A = 2 π ∑ x - A V = 2 π R 2 3 8 R 6 + R 3 4 π R 2 6

V = 2 π R 3 16 3 + R 3 2 2 = 3 3 8 R 3 π

V = 0.03188   m 3 V = 31.9   L

Resposta

V = 31.9   L

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