Enunciado

Determine o centróide do volume obtido pela rotação da área sombreada da figura sobre o eixo x .

Passo 1

Tá legal, vamos lá! A primeira coisa que devemos notar é que como o sólido vai rotacionar sobre o eixo x com aquela área, formando um cone, temos que y - = 0 e z - = 0 . Então, do enunciado, temos que a equação da curva é:

y = k x - h 2

Precisamos descobrir o valor de k em função dos parâmetros da curva, então para x = 0 temos o raio máximo do cone que chamaremos de a , então a equação se torna:

a = k 0 - h 2 → k = a h 2

Agora, como já vimos nessa seção do livro, o elemento diferencial de volume de um disco qualquer de raio r e espessura d x é dado por:

d V = π r 2 d x

Agora, precisamos encontrar a relação entre o raio do cone e a coordenada x , substituindo o valor encontrado de k e chamando y de r temos:

r = a h 2 x - h 2

Passo 2

Então podemos reescrever a equação para o volume diferencial como:

d V = π r 2 d x → d V = π a 2 h 4 x - h 4 d x

Então, aplicando a integral dos dois lados dessa expressão, temos:

∫ d V = ∫ π a 2 h 4 x - h 4 d x

Resolvendo as integrais, temos:

V = ∫ 0 h π a 2 h 4 x - h 4 d x = π a 2 h 4 1 5 x - h 5 0 h

Substituindo os limites de integração:

V = π a 2 h 4 1 5 0 - - 1 5 h 5

Então, simplificando a expressão, temos o volume para a figura gerada:

V = 1 5 π a 2 h

Passo 3

Agora podemos usar a expressão que relaciona o centro de massa em x com o volume do sólido em estudo, lembrando que nesse caso a coordenada x - E L = x :

x - V = ∫ x - E L d V

Então, substituindo o valor de x - E L e d V :

x - V = ∫ 0 h x π a 2 h 4 x - h 4 d x = ∫ 0 h x π a 2 h 4 x 4 - 4 h x 3 + 6 h 2 x 2 - 4 h 3 x + h 4 d x

x - V = ∫ 0 h π a 2 h 4 x 5 - 4 h x 4 + 6 h 2 x 3 - 4 h 3 x 2 + h 4 x d x

Resolvendo a integral, temos:

x - V = π a 2 h 4 1 6 x 6 - 4 5 h x 5 + 3 2 h 2 x 4 - 4 3 h 3 x 3 + 1 2 h 4 x 2 0 h

Substituindo os limites de integração, temos:

x - V = π a 2 h 4 1 6 h 6 - 4 5 h h 5 + 3 2 h 2 h 4 - 4 3 h 3 h 3 + 1 2 h 4 h 2

x - V = π a 2 h 4 1 6 h 6 - 4 5 h 6 + 3 2 h 6 - 4 3 h 6 + 1 2 h 6

Então, simplificando a expressão e substituindo o valor de V encontrado no passo 1:

x - 1 5 π a 2 h = 1 30 π a 2 h 2

E, isolando x - da equação, temos:

x - = 1 6 h

Resposta

x - = 1 6 h

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Escreva cada combinação de vetores como um único vetor. P Q → + Q R → R P → + P S → Q S → - P S → R S → + S P → + P Q →