Enunciado

5.31. The figure represents a flat piece of sheet metal symmetrical about axis A-A and having a parabolic upper boundary. Choose your own coordinates and calculate the distance from the base to the center of gravity of the piece.

Passo 1

Vamos lá, queremos descobrir o centro de massa no eixo y , e para isso vamos usar a equação

y - = ∫ y c d A A

Primeiro vamos descobrir o elemento de área d A .

Então

d A = y   d x

E nessa imagem temos

y c = y 2

Esse problema aqui tem uma simetria interessante para a gente, porque podemos resolver só para o lado direito do problema, em que x > 0 , e assim a gente já consegue achar o ponto y - .

Passo 2

Pra continuar a resolução, vamos determinar a função y . Bom, essa função é uma parábola, então é do tipo:

y = A + B x 2

Para achar o valor de A , vamos usar o ponto em que x = 0

2 = A + B ( 0 )

Então

A = 2

Agora para achar o valor de B vamos calcular a função em um ponto qualquer, vamos usar x = 3   i n e y = 3   i n , então temos

3 = 2 + B 3 2

Então

3 9 = B

Ou

B = 1 3

Então a função é

y = 2 + 1 3 x 2

Passo 3

A única coisa que falta para montar a integral é a área da figura. A gente pode calcular a área usando:

A = ∫ 0 3 d A

Ou seja

A = ∫ 0 3 y   d x

Ou ainda

A = ∫ 0 3 2 + 1 3 x 2   d x

Essa integral fica

A = 2 x + 1 9 x 3 0 3

A = 2 ⋅ 3 + 1 9 ⋅ 3 3 = 6 + 3 = 9   i n 2

Passo 4

Agora a gente finalmente pode montar a nossa integral:

y - = ∫ y c d A A

y - = ∫ 0 3 y 2 y   d x 9

Isso fica

y - = 1 18 ∫ 0 3 y 2   d x

Substituindo o valor de y

y - = 1 18 ∫ 0 3 2 + 1 3 x 2 2   d x

Podemos desenvolver esse quadrado

y - = 1 18 ∫ 0 3 4 + 1 9 x 4 + 4 3 x 2   d x

E isso fica

y - = 1 18 4 x + 1 45 x 5 + 4 9 x 3 0 3

Então

y - = 1 18 4 ⋅ 3 + 1 45 3 5 + 4 9 3 3 0 3

E isso fica

y - = 1 18 12 + 27 5 + 12 = 1,633   i n

E esse é o nosso ponto em y do centro de massa.

Resposta

y - = 1,633   i n

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3- Especifique as coordenadas x e z do centro de massa da casca semicilíndrica
Coloque seu lápis sobre a posição da sua melhor estimativa visual do centroide da área triangular. Verifique a posição horizontal da sua estimativa referindo-se aos resultados do Exemplo 5/2.
4- Especifique as coordenadas x , y e z do centro de massa do quadrante do cilindro sólido homogêneo.
Reduza as forças representadas na figura anterior a origem dos sistemas cartesianos indicados. Idem para as forças distribuídas mostradas na figura que se segue
Reduza as forças representadas na figura anterior a origem dos sistemas cartesianos indicados. Idem para as forças distribuídas mostradas na figura que se segue