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Determine os diagramas de esforço cortante e de momento fletor para a viga.

Passo 1

Para determinar os diagramas de esforço, em primeiro lugar as reações de apoio devem ser determinadas.

Em seguida, o eixo deve ser seccionado em posições a partir da extremidade esquerda que se estendem para partes entre forças, momentos ou carga distribuídas.

Para cada distância x (espaço entre a extremidade esquerda e o ponto escolhido para seccionar), o diagrama de corpo livre deve ser feito indicando o esforço cortante V e o momento fletor M em suas convenções positivas, tal que V é obtido através da soma das forças verticais e M é obtido através da soma dos momentos em relação a extremidade esquerda.

Enfim, com os valores dessas duas variáveis determinadas é possível desenhar os diagramas de esforços.

Passo 2

Sendo assim, fazendo o DCL de todo o eixo obtém-se:

Deve-se lembrar que a força resultante gerada por um carregamento retangular é dada por

F R r e t = w x

E a posição do centroide é

x ¯ r e t = b 2

Logo, para este caso, a resultante será dada por:

F R r e t = 2 5 = 10   k N

E o centroide se encontra em:

x ¯ r e t = 5 2 = 2 , 5   m

Como não existem forças atuando no eixo horizontal, então A x é nulo.

Para determinar as reações verticais em A e B deve-se primeiro aplicar o momento em relação a A supondo o sentido anti-horário como positivo, tal que:

∑ M A = 0 ⇒ B y 10 - F R x ¯ r e t - 10 8 = 0

B y = 10 2 , 5 + 80 10 = 10 , 5   k N

E fazendo o somatório de forças no eixo y :

∑ F y = 0 ⇒ A y + B y - F R - 10 = 0

A y = 10 + 10 - 10 , 5 = 9 , 5   k N

Passo 3

Após determinar as reações, faz-se uma seção pouco antes da força resultante gerada pela carga distribuída total e o DCL obtido será:

Tal intervalo analisado é 0 ≤ x < 5 m .

Para determinar o esforço cortante aplica-se o somatório de forças no eixo vertical:

∑ F y = 0 ⇒ A y - F R ' - V 1 = 0

V 1 x = 9,5 - 2 x

E para o momento fletor aplica-se o princípio dos momentos no ponto em que o eixo foi seccionado:

∑ M x = M 1 + F R ' x 2 - A y x = 0

M 1 x = 9,5 x - 2 x x 2 = 9,5 x - x 2

Para inserir estas informações nos diagramas de esforço, deve-se encontrar os valores nos extremos do intervalo. Logo:

V 1 0 = 9,5 - 2 0 = 9,5   k N

M 1 0 = 9,5 0 - 0 2 = 0

V 1 5 = 9,5 - 2 5 = - 0,5   k N

M 1 5 = 9,5 5 - 5 2 = 22 , 5   k N ∙ m

Além disso, um ponto de interesse é naquele em que o esforço cortante se anula. Tal ponto é:

V 1 = 0 = 9,5 - 2 x

x = 4,75   m

E nesta posição, o momento fletor será dado por:

M 1 4,75 = 9,5 4,75 - 4,75 2 = 22,6   k N ∙ m

Passo 4

Em seguida, faz-se uma nova seção entre as forças exercidas sobre a viga e o DCL obtido será:

Tal intervalo analisado é 5 m ≤ x < 8 m .

Para determinar o esforço cortante aplica-se o somatório de forças no eixo vertical:

∑ F y = 0 ⇒ A y - F R - V 2 = 0

V 2 x = 9,5 - 10 = - 0,5   k N

E para o momento fletor aplica-se o princípio dos momentos no ponto em que o eixo foi seccionado:

∑ M x = M 2 + F R x - x ¯ r e t - A y x = 0

M 2 x = 9,5 x - 10 x - 2,5 = 25 - 0,5 x

Para inserir estas informações nos diagramas de esforço, deve-se encontrar os valores nos extremos do intervalo. Logo:

V 2 5 = - 0,5   k N

M 2 5 = 25 - 0,5 5 = 22,5   k N ∙ m

V 2 8 = - 0,5   k N

M 2 8 = 25 - 0,5 8 = 21,0   k N ∙ m

Passo 5

Novamente, secciona-se a viga após a última força à direita e o DCL obtido é:

Tal intervalo analisado é 8 m ≤ x < 10 m .

Para determinar o esforço cortante aplica-se o somatório de forças no eixo vertical:

∑ F y = 0 ⇒ A y - F R - 10 - V 3 = 0

V 3 x = 9,5 - 10 - 10 = - 1 0,5   k N

E para o momento fletor aplica-se o princípio dos momentos no ponto em que o eixo foi seccionado:

∑ M x = M 3 + F R x - x ¯ r e t + 10 x - 8 - A y x = 0

M 3 x = 9,5 x - 10 x - 2,5 - 10 x - 8 = - 10,5 x + 105

Para inserir estas informações nos diagramas de esforço, deve-se encontrar os valores nos extremos do intervalo. Logo:

V 3 8 = - 10,5   k N

M 3 8 = - 10,5 8 + 105 = 21,0   k N ∙ m

V 3 10 = - 10,5   k N

M 3 10 = - 10,5 10 + 105 = 0

Passo 6

Portanto, inserindo os resultados do esforço cortante obtidos no diagrama tem-se:

E para os resultados do momento fletor:

Resposta

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