Enunciado

Determine a força em cada membro da treliça tesoura dupla em função da carga P e indique se os membros estão sob tração ou compressão.

Passo 1

E aí Pessoal, tudo bem? Vamos dar início a mais uma questão juntos!

Temos aqui um problema em que precisamos determinar a força em cada membro da treliça e indicar se a mesma é de tração ou de compressão.

Relembrando, ao utilizarmos o método dos nós, dizemos que uma força é de compressão quando o sentido da força (a seta) aponta para o nó. Caso contrário, temos uma força de tração.

Bom, vamos começar obtendo as reações nos suportes, os quais são A x e A y no pino em A e D y no suporte em D .

Aplicando as equações de equilíbrio, temos:

↺ ∑ M R A = 0 ⟹ L D y - P L 3 - 2 P L 3 = 0 ⟹ D y = P

⟶ ∑ F x = 0 ⟹ A x = 0

↑ ∑ F y = 0 ⟹ A y + D y - 2 P = 0 ⟹ A y = P   b a i x o

Agora que já sabemos as reações, vamos aplicar o método dos nós!

Passo 2

Ao fazermos uma análise prévia de todos os nós, percebemos que não existe um único nó com 2 incógnitas. Consequentemente, não existe um único nó de partida.

E agora, o que fazer? Bom, neste caso, precisamos procurar algum nó que, mesmo com mais incógnitas, nós conseguimos identificar alguma das forças. Isto é o suficiente para que consigamos montar o quebra cabeça!

E esta situação acontece com os nós E e F . Então, vamos começar utilizando o método dos nós para o nó E . Esboçando o diagrama de equilíbrio, temos:

Através das relações de equilíbrio, temos:

∑ F x = 0 ∑ F y = 0 ⟹ - F E A + F E F + F E C ⋅ cos ⁡ 45 ° = 0 F E C ⋅ sen ⁡ 45 ° - P = 0

Acontece que no sistema acima nós temos 3 incógnitas, F E A , F E F e F E C . A única delas que conseguimos resolver é F E C através da segunda equação, a qual nos retorna F E C = 1,41   P   T r a ç ã o .

O mesmo caso acontecerá para o ponto F . Esboçando o seu diagrama de equilíbrio, temos:

E que, através das equações de equilíbrio, nos retorna o seguinte sistema:

- F E F + F F D - F F B ⋅ cos ⁡ 45 ° = 0 F F B = 1,41   P   T r a ç ã o

Passo 3

Agora que identificamos duas forças, F E C e F F B , já conseguimos identificar 2 nós com apenas 2 incógnitas: nós B e C . Portanto, temos que analisar eles agora!

Vamos seguir agora a nossa análise para o nó B . Esboçando o diagrama de equilíbrio, temos:

Através das relações de equilíbrio, temos:

∑ F x = 0 ∑ F y = 0 ⟹ F A B ⋅ cos ⁡ 45 ° + F F B ⋅ sen ⁡ 45 ° - F B D ⋅ cos ⁡ 26,6 ° = 0 F A B ⋅ sen ⁡ 45 ° - F F B ⋅ cos ⁡ 45 ° + F B D ⋅ sen ⁡ 26,6 ° = 0

F A B - 1,265 F B D + 1,41   P = 0 F A B + 0,633 F B D - 1,41   P = 0

Resolvendo o sistema acima obtemos F B D = 1,49   P   C o m p r e s s ã o e F A B = 0,47   P   C o m p r e s s ã o . E assim já conseguimos identificar mais duas forças!

Devemos repetir a mesma análise, só que para o ponto C . O seu diagrama é:

Através das relações de equilíbrio, temos:

∑ F x = 0 ∑ F y = 0 ⟹ - F E C ⋅ sen ⁡ 45 ° - F C D ⋅ sen ⁡ 45 ° + F A C ⋅ cos ⁡ 26,6 ° = 0 - F E C ⋅ cos ⁡ 45 ° + F C D ⋅ cos ⁡ 45 ° + F A C ⋅ sen ⁡ 26,6 ° = 0

1,265 F A C - F C D - 1,41   P = 0 0,633 F A C + F C D - 1,41   P = 0

Resolvendo o sistema acima obtemos F A C = 1,49   P   C o m p r e s s ã o e F C D = 0,47   P   C o m p r e s s ã o .

Passo 4

Para finalizarmos a questão, só nos resta analisarmos os nós das extremidades A e D . Então, vamos começar analisando o nó. Esboçando o diagrama de equilíbrio, temos:

Através das relações de equilíbrio, temos:

∑ F x = 0 ∑ F y = 0 ⟹ F E A - F A B ⋅ sen ⁡ 45 ° - F A C ⋅ cos ⁡ 26,6 ° = 0 A y - F A B ⋅ cos ⁡ 45 ° - F A C ⋅ sen ⁡ 26,6 ° = 0

F E A - 0,47 P ⋅ sen ⁡ 45 ° - 1,49 P ⋅ cos ⁡ 26,6 ° = 0 P - 0,47 P ⋅ cos ⁡ 45 ° - 1,49 P ⋅ sen ⁡ 26,6 ° = 0

Cuja única incógnita é F E A que é igual a F E A = 1,66 P   T r a ç ã o .

Repetindo o mesmo procedimento para o nó D , obtemos também F F D = 1,66 P   T r a ç ã o .

Passo 5

Até ficamos na sensação de que acabou a questão! Mas ainda falta uma única força F E F , que nós esboçamos lá no início da questão, no Passo 2.

Então, vamos relembrar o sistema de equação que obtemos ao analisar o nó E :

- F E A + F E F + F E C ⋅ cos ⁡ 45 ° = 0 F E C ⋅ sen ⁡ 45 ° - P = 0

Substituindo o valor das forças que obtivemos ao decorrer da questão, teremos:

- 1,66 P + F E F + 1,41 P ⋅ cos ⁡ 45 ° = 0 F E C = 1,41 P

E assim chegamos à resposta F E F = 0,66 P   T r a ç ã o .

Agora sim! Somente agora podemos dizer que finalizamos a questão!

Resposta

F D E = 13,4   k N   T r a ç ã o

F C D = 6   k N   C o m p r e s s ã o

F E C = F F B = 1,41   P   T r a ç ã o

F B D = F A C = 1,49   P   C o m p r e s s ã o

F A B = F C D = 0,47   P   C o m p r e s s ã o

F E A = F F D = 1,66 P   T r a ç ã o

F E F = 0,66 P   T r a ç ã o

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Determine a força nos membros B C , H C e H G . Indique se os membros estão sob tração ou compressão.