Enunciado

Determine a força no elemento D G da treliça para placas de sinalização carregada.

Passo 1

Devemos calcular para essa treliça as forças pelo método das seções, fazendo um corte na treliça e pegando parte dela como se fosse um corpo rígido, então aplicando as equações de equilíbrio para esse corpo. Não conseguimos fazer um corte passando por D K e poucos elementos (os cortes passando por ele tem no mínimo 5 forças desconhecidas envolvidas), então teremos que fazer cortes mais de uma vez, até termos um número de incógnitas pequeno o suficiente para encontrar D K . O primeiro corte que será feito passará por C D , C Q , Q L e K L , pegando a parte esquerda:

Só estamos interessados nas forças C D e L K , que vão pra direita para próximo de D K . Para achar C D , podemos calcular o momento em torno de L . Mas pra isso precisamos da força vertical U y , então focaremos primeiro em encontrar as forças externas.

Passo 2

Observando o formato do apoio em V , percebemos fazilmente que os apoios em U e V não fazem força na direção horizontal. Obtemos U y diretamente fazendo o momento em torno de V da treliça como um todo:

∑ M V = 0 ⇒ 20 8 + 10 12 + 5 16 - U y 24 = 0 ⇒ 24 U y = 360

⇒ U y = 360 24 = 15   k N

Agora fazenso o equilíbrio das forças verticais achamos V y :

∑ F y = 0 ⇒ U y + V y - 5 - 10 - 20 = 0 ⇒ 15 + V y - 35 = 0 ⇒ V y = 20   k N

Passo 3

Agora podemos olhar pra nossa parte da treliça e calcular C D através do momento em relação a L :

∑ M L = 0 ⇒ - U y 8 - C D 5 = 0 ⇒ 5   C D = - 8   U y = - 8 ⋅ 15 = - 120

⇒ C D = - 120 5 = - 24   k N   ( C )

O valor negativo indica que a força é de compressão (apontando o nó) e não de tração como desenhamos. Agora pelo simples equilíbrio das forças horizontais sabemos que:

K L = 24   k N   ( T )

Fazendo uma analogia ao outro lado da treliça, se fizéssemos um corte exatamente igual, passando por D E , E R , J R e J K , teríamos o seguinte:

C D = 8 U y 5 ⇒ D E = 8 V y 5

Então temos:

D E = 8 ⋅ 20 5 ⇒ D E = 32   k N   ( C )

E também:

J R = 32   k N   ( T )

Passo 4

Agora se olharmos para o ponto D temos nele 3 forças desconhecidas e 2 desconhecidas. Pra fazer as equações de equilíbrio e resolver precisamos ter apenas 2 incógnitas, então ainda precisamos antes achar mais forças. Vamos agora fazer um corte passando por C D , D Q , K Q e K L :

Fazendo o momento em relação a K conseguimos achar D Q diretamente, mas precisamos do seno e do cosseno do ângulo θ . Encontramos eles rapidamente da seguinte forma:

d 2 = 2,5 2 + 4 2 ⇒ d = 6,25 + 16 = 4,717

sen ⁡ θ = 2,5 4,717 = 0,53

cos ⁡ θ = 4 4,717 = 0,848

Agora podemos calcular o momento em torno de K :

∑ M K = 0 ⇒ - D Q sen ⁡ θ 4 - D Q cos ⁡ θ 2,5 - 15 12 + 24 5 + 5 ( 4 ) = 0

⇒ - 2,12   D Q - 2,12   D Q - 180 + 120 + 20 = 0

⇒ - 4,24   D Q = 40 ⇒ D Q = - 9,434   k N   ( C )

O sinal negativo indica que a força é de compressão e não de tração. Agora só temos duas incógnitas no ponto D! Com as 2 equações de equilíbrio, somos capazes de encontrar D K .

Passo 5

Vamos dar uma olhada nas forças no ponto D . Perceba que agora já conseguimos representar todas as forças no sentido correto ( D K é de tração):

Vamos então às equações de equilíbrio:

∑ F x = 0 ⇒ C D + D Q cos ⁡ θ - D E - D R cos ⁡ θ = 0

Agora substituindo os valores já encontrados das forças e do cosseno:

24 + 9,434 0,848 - 32 - 0,848   D R = 0 ⇒ 0,848   D R = 0 ⇒ D R = 0

Agora para o eixo y :

∑ F y = 0 ⇒ D Q sen ⁡ θ - D K + D R sen ⁡ θ = 0

⇒ 9,434 0,53 - D K = 0 ⇒ D K = 5,00   k N

Resposta

D K = 5,00   k N

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Determine a força nos membros G D , G E e F D da treliça de espaço e indique se os membros estão sob tração ou compressão.
45. Determine a força nos membros C D ,L D e K L da treliça e indique se os membros estão sob tração ou compressão.
47. Determine a força nos membros C D e G F da treliça e indique se os membros estão sob tração ou compressão. Além disso, indique todos os membros de força zero.
35. Determine a força nos membros H I , F I e E F da treliça e indique se os membros estão sob tração ou compressão.
46. Determine a força nos membros B C e C H da treliça e indique se os membros estão sob tração ou compressão.