Enunciado

Determine a força no membro C G da treliça carregada. Suponha que as quatro reações externas em A , B , E e F são iguais em magnitude e são direcionadas perpendicularmente à superfície de suporte local.

Passo 1

Fala galera, tudo certo? Bora fazer mais um exercício? Prometo que vai ser bem rapidinho!

O enunciado nos pede para determinar a força que a barra C G da treliça está submetida devido às força L aplicadas em C e D . O desenho é meio assustador né? Mas relaxa, vamos resolver aos poucos que vai dar tudo certo!

O primeiro passo aqui é determinar as reações em A , B , E e F . Como foi dito que elas são iguais em magnitude, vamos chama-las apenas de R . Além disso, elas são perpendiculares aos apoios e eles estão inclinados em 45 ° , então as reações também formam um ângulo de 45 ° com a horizontal.

Com isso, podemos determinas as reações R a partir do equilíbrio de forças na direção vertical:

∑ F y = 0

4 * R sen ⁡ 45 ° - 2 L = 0

R = 2 4 sen ⁡ 45 °

R = 0,707 L

Passo 2

Para descobrirmos o módulo, direção e sentido das forças atuando nas barras, precisamos sempre partir de um ponto/nó que tenha uma força com módulo, direção e sentido conhecidos.

Show! A partir disso, podemos analisar os nós da treliça separadamente, que devem estar em equilíbrio para que a treliça também esteja. Começando pelo nó B . Olhando para o triângulo isósceles B O C , podemos descobrir o ângulo α entre B C e A B que é igual ao ângulo entre B C e C H :

α = 180 ° - 30 ° 2

α = 75 °

Dessa forma:

Para facilitar nossos cálculos envolvendo ângulos, criamos um sistema de coordenadas x ' - y ' . Agora podemos fazer o equilíbrio de forças nessas direções:

∑ F x ' = 0

R - B C sen ⁡ 75 ° = 0

B C = 0,707 L sen ⁡ 75 °

B C = 0,732 L   ( C )

∑ F y ' = 0

B C cos ⁡ 75 ° - A B = 0

A B = 0,732 L * cos ⁡ 75 °

A B = 0,189 L   T

Sempre que uma força apontar para o nó ela é de compressão ( C ) , ou seja, tende a comprimir a barra. Se apontar para fora, ela é de tração ( T ) e tende a alongar a barra.

Passo 3

Show, feito isso, vamos repetir esse procedimento para alguns outros nós até descobrirmos as forças em todas as barras. Analisando agora o nó A . Olhando para o triângulo isósceles A O H , temos o mesmo ângulo α entre A H e A O que é igual ao ângulo entre A H e H O , a partir disso, temos que o comprimento da barra A H é:

A H - = 2 * 3 R 4 sen ⁡ 30 ° 2

A H - = 0,388 R

Nós já calculamos o lado  A C - e foi dado que  C H - = R 4 = 0,25 R . Além disso, como α = 75 ° , o ângulo β entre A H e C H é:

β = 180 ° - 75 ° = 105 °

E para a barra A C , usando a lei dos cossenos, temos:

A C - = 0,388 R 2 + 0,25 R 2 - 2 * 0,388 R * 0,25 R cos ⁡ 105 °

A C - = 0,513 R

Beleza! Agora vamos olhar para o triângulo A H C . Podemos usar a lei dos senos para determinar o ângulo θ entre A H e A C

sen ⁡ θ 0,25 R = sen ⁡ 105 ° 0,513 R

θ = sen - 1 ⁡ 0,25 R * sen ⁡ 105 ° 0,513 R

θ = 28,08 °

Lembrando que a reação R em A é perpendicular a A B , então ela forma um ângulo de 15 ° com a direção de A H . Aqui também vamos usar um sistema de coordenadas x ' - y ' conveniente para fazer o equilíbrio de forças:

E, finalmente, utilizando as equações de equilíbrio de força, temos:

∑ F y ' = 0

R sen ⁡ 15 ° + A B sen ⁡ β - A C sen ⁡ θ = 0

A C = 0,707 L * sen ⁡ 15 ° + 0,189 L * sen ⁡ 105 ° sen ⁡ 28,08 °

A C = 0,777 L   C

∑ F x = 0

R cos ⁡ 15 ° - A B cos ⁡ β - A C cos ⁡ θ + A H = 0

A H = 0,189 L * cos ⁡ 105 ° + 0,777 L * cos ⁡ 28,08 ° - 0,707 L * cos ⁡ 15 °

A H = 0,052 L   T

Como cos ⁡ 105 ° é um número negativo e nós já consideramos as direções reais, utilizamos o seu módulo nos cálculos.

Passo 4

Deu pra perceber que a parte chata desse problema é a geometria né? O equilíbrio dos nós é sempre bem mais simples. Mas calma vai dar certo, não desiste não!! Hahaha

Bora analisar o nó H agora!

Como os triângulos H A C e H G C são idênticos, o ângulo entre G H e C G também é β = 105 ° . Fazendo o equilíbrio de forças nas direções x ' e y ' :

∑ F x ' = 0

G H sen ⁡ β - A H sen ⁡ β = 0

G H = 0,052 L sen ⁡ 105 ° sen ⁡ 105 °

G H = 0,052 L   T

∑ F y ' = 0

C H - G H cos ⁡ β - A H cos ⁡ β = 0

C H = 0,052 L   cos ⁡ 105 ° + 0,052 L   cos ⁡ 105 °

C H = 0,027 L   T

Passo 5

Beleza! São muitas contas, mas até que não é difícil né? Agora, analisando o nó C podemos, finalmente determinar a força na barra C G . Observe que o ângulo entre as barras C G e C D é igual ao ângulo entre as barras G H e C G , que por sua vez é igual ao ângulo θ = 28,08 ° entre as barras A H e A C .

Temos também pelo desenho que a barra C H faz 15 ° com o eixo y original e que a barra A B faz 45 ° com o eixo x , então, os ângulos entre B C e a horizontal ( γ ) e A C e a horizontal ( δ ), são:

γ = 75 ° - 45 ° = 30 °

δ = 75 ° + 28,08 ° - 45 ° = 58,08 °

Como já temos C H , B C e A C , podemos determinar C G a partir do somatório de forças na direção y :

∑ F y = 0

B C sen ⁡ γ + A C sen ⁡ δ - C H cos ⁡ 15 ° - C G sen ⁡ θ - L = 0

C G = 0,732 L sen ⁡ 30 ° + 0,777 L sen ⁡ 58,08 ° - 0,027 L cos ⁡ 15 ° - L sen ⁡ 28,08 °

C G = 0,001 L

Ou seja, podemos dizer que:

C G = 0

Ufa! Essa já foi hein? Partiu pra próxima!

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Resposta

C G = 0

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