Enunciado

Determine a força em cada membro da treliça e indique se os membros estão sob tração ou compressão.

Passo 1

Fala, galera do Responde aí. Tudo Beleza? Bora para mais um exercício de Mecânica. Para determinarmos a força em cada braço da treliça, vamos primeiro esboçar o DCL:

Em seguida, vamos determinar as reações de apoio através das equações de equilíbrio. Temos que a resultante das forças no eixo x vai ser:

∑ F x = 0 A x = 0

E para y , temos:

∑ F y = 0 A y - 12 + D y = 0 A y + D y = 12

Para o momento, temos:

∑ M A = 0 12 ∙ 6 - D y ∙ 9 = 0 D y = 8   k N

Logo:

A y + D y = 12 A y + 8 = 12 A y = 4   k N

Passo 2

Com isso, podemos determinar a força de cada braço da treliça e concluir se eles estão em tração ou compressão. Para isso, vamos utilizar o método dos nós. Para o nó A , temos:

Antes de determinarmos as forças de cada braço, temos que determinar o ângulo θ que a força F A G faz com o eixo x . Temos:

tan ⁡ θ = c a t e t o   o p o s t o c a t e t o   a d j a c e n t e = 3 3 θ = tan - 1 ⁡ 1 θ = 45 °

Pelas equações de equilíbrio, podemos determinar os esforços. Fica assim:

∑ F y = 0 F A G sin ⁡ 45 ° + A y = 0 F A G = - 5,66   k N   ( C o m p r e s s ã o )

E também:

∑ F x = 0 F A G cos ⁡ 45 ° + F A B = 0 F A B = 4   k N   ( T r a ç ã o )

Passo 3

Vamos fazer o mesmo para o nó B , temos:

Pelas equações de equilíbrio, temos:

∑ F y = 0 F G B = 0

E também:

∑ F x = 0 F B C - F A B = 0 F B C = 4   k N   ( T r a ç ã o )

Passo 4

Em seguida, vamos determinar as forças para o nó G . Pelas relações de equilíbrio, temos:

∑ F y = 0 - F A G cos ⁡ 45 ° - F G B - F G C cos ⁡ ( 45 ° ) = 0 F G C = 5,66   k N   ( T r a ç ã o )

E também:

∑ F x = 0 F E G - F G C sin ⁡ 45 ° - F A G sin ⁡ 45 ° = 0 F E G = - 8   k N   ( C o m p r e s s ã o )

Passo 5

Agora que a gente conseguiu diminuir o número de incógnitas, já podemos calcular os esforços no nó C . Pelo DCL, temos:

Por semelhança de triângulos, o ângulo θ entre a força F G C e a força F B C é a mesmo. Logo:

θ = 45 °

Pelas equações de equilíbrio, temos:

∑ F y = 0 F G C sin ⁡ 45 ° + F E C - 12 = 0 F E C = 8   k N   ( T r a ç ã o )

E também:

∑ F x = 0 - F B C - F G C cos ⁡ 45 ° + F D C = 0 F D C = 8   k N   ( T r a ç ã o )

Passo 6

Por fim, vamos determinar os esforços a partir do nó E . Fica assim:

Pelas equações de equilíbrio, temos:

∑ F y = 0 - F D E sin ⁡ 45 ° - F E C = 0 F D E = - 11,3   k N   ( C o m p r e s s ã o )

Opa, é isso galera! Bora fazer mais questões.

Resposta

F A G = - 5,66   k N   ( C o m p r e s s ã o )

F A B = 4   k N   ( T r a ç ã o )

F G B = 0

F B C = 4   k N   ( T r a ç ã o )

F G C = 5,66   k N   ( T r a ç ã o )

F E G = - 8   k N   ( C o m p r e s s ã o )

F E C = 8   k N   ( T r a ç ã o )

F D C = 8   k N   ( T r a ç ã o )

F D E = - 11,3   k N   ( C o m p r e s s ã o )

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Usando o método dos nós, determine a força em cada elemento da treliça mostrada na figura. Indique se cada elemento está sob tração ou sob compressão.
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