Enunciado

Determine a força P necessária para dar a corrente de elos de comprimenro total L uma velocidade constante v = y ˙ . A corrente possui uma massa ρ por unidade de comprimento. Além disso, pela aplicação da equação do impulso-quantidade de movimento à parte do lado esquerdo do sistema, verifique que a força R que suporta a pilha de corrente é igual ao peso da pilha. Despreze o pequeno tamanho e massa da polia e qualquer atrito na polia.

Passo 1

Vamos definir o sentido positivo como aquele em que a corrente é puxada na direção da força P , e o negativo é o caminho contrário.

Nesse caso, a soma das forças que agem sobre a corrente na direção vertical são as seguintes:

∑ F y = P + ρ g y - T

Onde ρ g y é a força peso da porção da corrente que já está do lado direito da polia, e T é a força de tração exercida pela parte esquerda da corrente.

Para que a corrente tenha velocidade constante todas essas forças tem que estar em equilíbrio:

P + ρ g y - T = 0

T = P + ρ g y

Passo 2

Ok, mas temos uma equação com duas variáveis desconhecidas ( T e P ), e queremos determinar uma das duas. Precisamos achar uma segunda equação.

Vamos olhar para o lado esquerdo da corrente, e usar a equação que dá a força resultante externa:

∑ F y = m v ˙ + m ˙ u

E para o lado esquerdo, as duas forças externas aginso são o peso da parte que está suspensa e a tração, em sentidos opostos:

T - P = m v ˙ + m ˙ u

Nesse caso a tensão ficou com o sinal positivo porque estamos usando a mesma convenção de antes. E a força peso pode ser escrita como:

P = ρ g h

Como a corrente atinge uma velocidade constante, a aceleração v ˙ é nula:

T - ρ g h = m ˙ u

A massa da porção suspensa varia conforme a corrente sobe:

m = ρ h

m ˙ = ρ h ˙ = ρ v = ρ u

Então:

T = ρ v 2 + ρ g h

Beleza, encontramos uma segunda equação, agora ficamos com o seguinte sistema:

T = ρ v 2 + ρ g h T = P + ρ g y

Subtraindo uma equação da outra:

ρ v 2 + ρ g h - P - ρ g y = 0

P = ρ v 2 + ρ g ( h - y )

E isso responde a primeira parte da questão.

Passo 3

Agora queremos aplicar a equação do impulso-quantidade de movimento para mostrar que a força R que sustenta a pilha de corrente no chão é igual ao seu peso.

A equação é a seguinte:

∑ F y = G ˙ y

Onde F x são as forças externas e G x é a quantidade de movimento. Vamos aplicar essa equação ao lado esquerdo da corrente.

Para as forças externas vamos ter dois grupos. Apontando para cima temos a tensão T exercida pela outra parte da corrente e a força R de sustentação da pilha (que é uma força normal)

Apontando para baixo temos o peso da parte suspensa mais o peso da parte que está no chão.

∑ F y = T + R - P s u s p e n s o - P c h ã o

P s u s p e n s o = ρ g h

P c h ã o = ρ g ( L - h - y )

Então:

∑ F y = T + R - ρ g h - ρ g ( L - h - y )

Passo 4

Agora vamos olhar para a quantidade de movimento da porção esquerda da corrente:

G y = m v = ρ h v

Onde desconsideramos a parte da corrente que está parada no chão, já que esta não tem quantidade de movimento.

G y ˙ = d d t ( ρ h v )

Pela regra do produto:

G ˙ y = ρ h ˙ v + ρ h v ˙

Como a velocidade da corrente é constante, v ˙ = 0 , e h ˙   é a própria velocidade da corrente:

G ˙ y = ρ v 2

Agora vamos voltar à nossa equação inicial:

∑ F y = G ˙ y

T + R - ρ g h - ρ g L - h - y = ρ v 2

Precisamos isolar a força R :

R = ρ v 2 + ρ g h + ρ g L - h - y - T

E usando a equação que escrevemos lá no passo 2 para T :

T = ρ v 2 + ρ g h

R = ρ v 2 + ρ g h + ρ g L - h - y - ρ v 2 - ρ g h

R = ρ g L - h - y

Que é exatamente a força peso da parte da corda que ainda está empilhada no chão.

Resposta

A força necessária é P = ρ v 2 + ρ g ( h - y ) e a força que suporta a pilha é R = ρ g L - h - y .

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