Enunciado

Determine a intensidade e os ângulos de direção coordenados de F 2 , de modo que a resultante das duas forças atue ao longo do eixo x positivo e tenha uma intensidade de 500 N.

Passo 1

Queremos encontrar F 2 , sabendo que nossa força resultante está apenas no eixo x positivo com uma intensidade de 500 N.

Vamos começar decompondo F 1 :

De início já podemos encontrar a direção k , dado que a força faz 1 5 ° com o plano x y :

F 1 z = F 1 sin ⁡ 1 5 °

F 1 z = 18 0 sin ⁡ 1 5 °

F 1 z = 46,6   N

Já, a projeção no plano x y é dada por:

F 1 x y = F 1 cos ⁡ 1 5 °

F 1 x y = 18 0 cos ⁡ 1 5 °

F 1 x y = 174   N

E então decompomos em x e y :

Temos em x :

F 1 x = F 1 x y sin ⁡ 6 0 °

F 1 x = 174   sin ⁡ 6 0 °

F 1 x = 15 1   N

E temos em y :

F 1 y = F 1 x y cos ⁡ 6 0 °

F 1 y = 174   cos ⁡ 6 0 °

F 1 y = 87   N

E o vetor cartesiano de F 1 fica:

F 1 = 1 51 i + 87 j - 46,6 k   N

Perceba que a direção k é negativa de acordo com o sentido negativo da força no eixo z .

Passo 2

Vamos agora igualar o somatório das nossas forças à força resultante.

F R = F 1 + F 2 F R x i + F R y j + F R z k = F 1 x i + F 1 y j + F 1 z k + F 2 x i + F 2 y j + F 2 z k

500 i = 151 i + 87 j - 46,6 k + F 2 x i + F 2 y j + F 2 z k

F 2 x i + F 2 y j + F 2 z k = 349 i - 87 j + 46,6 k

F 2 x = 349   N

F 2 y = - 87   N

F 2 z = 46,6   N

E a intensidade do seu módulo será:

F 2   = F 2 x 2 + F 2 y 2 + F 2 z 2

F 2   = 349 2 + - 87 2 + 46,6 2

F 2   =   363   N

Passo 3

Só falta encontrar os ângulos de direção coordenados de F 2 , sendo:

cos ⁡ α = F x F ∴ α = cos - 1 ⁡ F x F  

cos ⁡ β = F y F   ∴ β = cos - 1 ⁡ F y F

cos ⁡ γ = F z F   ∴ γ = cos - 1 ⁡ F z F

Então:

α = cos - 1 ⁡ 349 363 ∴ α = 16,0 °

β = cos - 1 ⁡ - 87 363 ∴ β = 104 °

γ = cos - 1 ⁡ 46,6 363 ∴ γ = 82,6 °

Resposta

F 2   =   363   N

α 2 = 16,0 °

β 2 = 104 °

γ 2 = 82,6 °

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