Enunciado

13. Determine a intensidade do momento da força F → = 300 i - 200 j + 150 k   N em relação ao eixo x. Expresse o resultado como vetor cartesiano.

Passo 1

Fala, querido! A gente quer o momento na forma cartesiana em relação a x .

Para fornecer o resultado como o enunciado pede precisamos calcular o momento da força F usando o produto vetorial que é dado da seguinte maneira:

M 0 = u a → ⋅ ( r → × F → ) = u a x u a y u a z r x r y r z F x F y F z

Onde:

u a x ,   u a y   e   u a z representam as componentes do vetor unitário definido na direção do eixo de rotação

r x ,   r y   e   r z representam as coordenadas do vetor posição definido a partir de qualquer ponto O sobre o eixo de rotação até qualquer ponto na linha de aplicação da força.

F x ,   F y   e   F z são as componentes da força F aplicada.

Passo 2

O vetor r → mencionado tem que sair do ponto do eixo em relação ao qual a gente quer o momento, podemos escolher O , até o ponto da aplicação da força B . Para achar um vetor que liga dois pontos, a gente faz ponto final menos ponto inicial, assim:

r → = B - O

Onde

B = 0 . 3   ,   0.4   , - 0.2

O = 0,0 , 0

r → = 0.3   ,   0.4   , - 0.2 - 0,0 , 0 = 0.3   ,   0.4   , - 0.2

Logo, nosso vetor fica

r → = { 0,3 i + 0,4 j - 0,2 k }

O vetor unitário que tem a mesma direção que o eixo de rotação que é o eixo x, é dado por:

u → = { 1 i + 0 j + 0 k }

(só a gente colocar 1 na componente x e zero nas outras, aí acha o vetor unitário na direção de x )

Passo 3

Agora que já temos tudo que precisamos, vamos calcular o momento em relação ao eixo pedido.

M 0 = u → ⋅ ( r → × F → ) = u x u y u z r x r y r z F x F y F z

= 1 0 0 0,3 0,4 - 0,2 300 - 200 150

= 1 0,4 ⋅ 150 - 0,2 ⋅ 200 - 0 0,3 ⋅ 150 - - 0,2 ⋅ 300 + 0 - 200 ⋅ 0,3 - 0,4 ⋅ 300

= 60 - 40 - 0 + 0

= 20   N ⋅ m

Mas isso que encontramos é a intensidade do momento, para achar ele em forma cartesiana, basta multiplicá-lo pelo vetor unitário, já que eles têm a mesma direção e sentido, assim:

M 0 → = M 0 u → = 20 ( 1 i + 0 j + 0 k )

= ( 20 i + 0 j + 0 k )

Resposta

A intensidade do momento da força em relação ao eixo x é:

M 0 = 20   N ⋅ m

Expresso de forma cartesiana:

M 0 → = ( 20 i + 0 j + 0 k )

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