Enunciado

Determine as intensidades das componentes da força F = 600 N que atuam ao longo e perpendicular ao segmento D E   do encanamento.

Passo 1

Falaa, aí! Ele quer a intensidade das componentes das forças na direção paralela a D E e na linha perpendicular a ela.

O que ele quer dizer é que queremos projetar a força F = 600   N nessa linha D E e achar sua intensidade (seu módulo) e fazer o mesmo para a linha perpendicular a D E . Falou de projetar, cê lembra logo de produto escalar!

Como aqui a gente está em 3D, fica mais tranquilo usarmos formulação de vetor cartesiano, tá bem?

Então, a gente precisa escrever a força como um vetor e o nosso eixo D E como vetor unitário e fazer o produto escalar entre eles.

Vem ver como fica!

Passo 2

Da figura do enunciado, vamos tirar as componentes da força. Primeiro, vamos achar um vetor unitário no sentido da nossa força. Como a gente faz isso?

Repara que ela está na direção que sai de E e vai para B . Achamos um vetor nesse sentido fazendo ponto final menos inicial

v → = B - E

Aí a gente acha as coordenadas desses pontos pela figura:

B = 0 ,   2 , 0

E = 4 , 5 , - 2

E calcula o vetor:

v → = 0 ,   2 , 0 - 4 , 5 , - 2 = 0 - 4 ,   2 - 5 ,   0 - ( - 2 )

Mas lembra, a gente quer o vetor unitário, então, vamos dividir esse vetor que a gente achou pelo módulo dele:

u e b → = 0 - 4 i + 2 - 5 j + 0 - ( - 2 ) k 0 - 4 2 + 2 - 5 2 + 0 - ( - 2 ) 2 =   - 0,7428 i - 0,5571 j + 0,3714 k

Aí para achar o vetor da força de 600   N nessa direção é só a gente multiplicar esse vetor unitário que está na direção e sentido da nossa força pelo módulo da força:

F → = F ⋅ u e b → = 600 - 0,7428 i - 0,5571 j + 0,3714 k = - 445,66 i - 334,25 j + 222,83 k

Achamos um vetor!

Passo 3

Falta achar o vetor na direção de D E . Ele precisa ser unitário também. Vamos fazer o mesmo procedimento para achar o vetor unitário na direção de F → .

O nome do eixo já diz os pontos que a gente pode usar:

w → = D - E

Não faz diferença a ordem aqui, tá?

As coordenadas desses pontos são

E = 4,5 , - 2

D = 4 , 2 , - 2

w → = 4,2 , - 2 - 4,5 , - 2 = 0 , - 3,0

Achando o vetor unitário:

u d e → = 0 i + - 3 j + 0 k 0 2 + - 3 2 + 0 2 =   - j

Passo 4

Agora que a gente tem o vetor da força e o vetor unitário na direção de D E , a gente acha a intensidade da força projetada na direção de D E fazendo o produto escalar entre esses vetores:

F d e p a r = F → ⋅ u d e → = - 445,66 i - 334,25 j + 222,83 k ⋅ - j ≈ 334 N

Essa é a intensidade da componente da força paralela a D E .

Passo 5

Para achar a componente perpendicular, vamos pensar assim. Com duas componentes F 1 e F 2   perpendiculares entre si de uma força, a gente consegue achar o módulo dessa força fazendo

F R = F 1 2 + F 2 2

No nosso caso, temos duas componentes perpendiculares entre si, que a gente achou F d e p a r   e a que a gente quer achar F d e p e r p , que está na direção normal a D E . E elas são componentes de F = 600   N . Aí temos

F = F d e p e r p 2 + F d e p a r 2

Aí a gente pode isolar F d e p e r p e achar:

F d e p e r p = F 2 - F d e p a r 2 ≈ 498 N

Resposta

F d e p a r = 334 N   e   F d e p e r p = 498 N

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