Enunciado

Determine a projeção da força F = 80 N ao longo da linha B C .   Expresse o resultado como um vetor cartesiano.

Passo 1

Fala galerinha bonita, tudo beleza?! Se liga só, nesse exercício aqui o enunciado nos deu uma força F atuando em um sistema como no diagrama a seguir:

E sabendo disso, ele nos pede para encontrar os valores da projeção da força F sobre a linha de B C .

Mas calma lá meu patrão, vamos com calma. Primeiro de tudo, a gente tem que a linha de atuação da força F está em F D , ou seja, a linha que liga os pontos F e D .

Esses pontos são dados como:

D = 2 ;   0 ;   1,5 ,     F = 2 ; 2 ; 0

Isso quer dizer que o vetor diretor dessa linha vai ser dado como:

F D → = D - F

F D → = 2 ;   0 ;   1,5 - 2 ; 2 ; 0

F D → = 0 ;   - 2 ;   1,5

E seu vetor unitário vai ser:

n → F D = 0 ;   - 2 ;   1,5 0 2 + - 2 2 + 1,5 2

n → F D = 0 ;   - 0,8 ;   0,6  

E como a força de 80   N atua nesse sentido, teremos que a sua forma vetorial será dada como:

F → = F n → F D

Logo:

F → = 80 0 i ^ - 0,8 j ^ + 0,6 k ^

F → = - 64 j ^ + 48 k ^

Passo 2

Iradoso, agora a linha B C que queremos projetar a força F   vai ser dada pelo vetor:

B C → = C - B

Onde os pontos B e C serão:

B = 0 ; 4 ; 0 ,     C = 4 ; 0   ; 0

Logo:

B C → = 4 ; 0   ; 0 - 0 ; 4 ; 0

B C → = 4 ; - 4   ; 0

E seu vetor unitário vai ser dado como:

n → B C = 4 ; - 4   ; 0 4 2 + - 4 2 + 0 2

n → B C = 2 2 ; - 2 2   ; 0

n → B C = 2 2 i ^ - 2 2 j ^

Passo 3

Belezoca, então se a gente quer projetar a força F na linha B C , podemos aplicar a fórmula da projeção dada como:

F B C = F → ,   n → B C n → B C . n → B C

Onde F → ,   n → B C representa o produto interno entre a força F → e o vetor n → B C dado por:

F → ,   n → B C = - 64 j ^ + 48 k ^ ⋅ 2 2 i ^ - 2 2 j ^

F → ,   n → B C = 0 2 2 + - 64 - 2 2 + 48 0

F → ,   n → B C = 32 2

E como o módulo do vetor unitário é 1 , temos n → B C = 1 , de modo que:

F B C = 32 2 1 . 2 2 i ^ - 2 2 j ^

F B C = 32 2 2 2 i ^ - 32 2 2 2 j ^

F B C = 32 i ^ - 32 j ^

E se a gente tirar o módulo dessa força, vamos obter que:

F B C = 32 2 + - 32 2

F B C = 45,2   N

Resposta

F B C = 45,2   N           e       F B C = 32 i ^ - 32 j ^

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