Enunciado

Determine a massa da peça fundida de titânio formada girando completamente a seção transversal mostrada em torno do eixo z de simetria.

Passo 1

Observe que, para determinar a massa da peça fundida, precisaremos determinar seu volume e densidade.

m = V ρ (1)

Na tabela D / 3, vemos que a densidade do titânio é:

ρ = 3080   k g / m 3 = 3080 ⋅ 10 - 9   k g / m m 3

Substitua ρ por seu valor na expressão (1) para obter a expressão para a massa (em kg) em função do volume (em mm)

m = 3080 ⋅ 10 - 9 V k g / m m 3 (1.1)

Passo 2

Usando o teorema de Pappus, podemos escrever a expressão para o volume do corpo como

V = θ ∑   x ‾ A V = θ x ‾ 1 A 1 + x ‾ 2 A 2                                                   ( 2 )

Onde x ‾ é o centroide da área, A é a área e o ângulo de rotação θ

Podemos ver no esboço as seguintes dimensões:

x 1 = x 2 = 10 + 40 2 = 30.0   m m

Uma vez que as áreas das partes 1 e 2

A 1 = 40 ⋅ 20 = 800   m m 2 A 2 = 20 + 40 2 ⋅ 10 = 300   m m 2

E o ângulo de rotação

θ = 2 π

Passo 3

Coloque os valores na expressão (2)

V = 2 π ( 30 ⋅ 800 + 30 ⋅ 300 )

Volume total é

V = 207345 m m 3

Finalmente, substitua V pelo seu valor na expressão (1.1) para obter a massa da peça fundida em kg.

m = 3080 ⋅ 10 - 9 ⋅ 207345

m = 0.639 k g

Resposta

m = 0.639 k g

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Localize o centro de massa do bloco. Os materiais 1, 2 e 3 possuem densidades de 2,70M g / m ³ ³, 5,70M g / m ³ ³ e 7,80M g / m ³ ³ , respectivamente.
Localize o centroide y da seção transversal da viga.
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Calcule as reações de apoio em A e B para a viga carregada.
Calcule a força de apoio RA e o momento MA atuando na viga cantilever carregada em A.