Enunciado

As posições dos eixos A e C são fixas, enquanto as do eixo B podem ser variadas por meio da fenda vertical e do parafuso de travamento. Os coeficientes de atrito cinético são 0,60 em A e C e 0,20 em B. Plote a quantidade T/mg como uma função de y para 0 ≤ y ≤ 10 r , onde T é a tensão necessária para levantar o cilindro de massa m em um equilíbrio taxa e r é o raio comum de todos os três eixos. Todos os eixos são fixos contra rotação. Quais são os valores limites de T/mg para y = 0 e para grandes valores de y?

Passo 1

Como estamos tentando levantar o cilindro, sabemos que a tensão T é maior que o peso W, sabendo que o coeficiente de atrito não é igual para todas as superfícies, podemos escrever a expressão para a tensão T como

T = W ∙ e μ A β A + μ B β B + μ C β C

Desde a

μ A = μ C = 0.60

μ B = 0.20

E uma vez que sabemos que W = mg, podemos escrever a expressão acima como

T = m g ∙ e 0.60 β A + β C + 0.20 β B

No esboço abaixo, podemos ver que os ângulos β A , β B e β C são

β A = β C = 180 ° - φ

β A = β C = π - φ

β B = 180 ° - 2 φ

β B = π - 2 φ

Passo 2

Portanto, a expressão para a tensão T agora será semelhante a esta

T = m g ∙ e 0.60 2 π - 2 φ + 0.20 π - 2 φ

A partir daqui, podemos expressar T m g proporção como

T m g = e 1.4 π - 1.6 φ                     ( 1 )

Passo 3

Podemos notar que os triângulos Δ ADE e Δ BEF são idênticos, portanto, podemos escrever a expressão para comprimento A E - como

A E - = A B - 2 = 1 2 3 r 2 + y 2

Em seguida, usando a regra do seno, podemos determinar o ângulo γ

sin ⁡ γ r = sin ⁡ 90 ° ⏞ = 1 A E -

sin ⁡ γ = r 1 2 3 r 2 + y 2

Uma vez que o intervalo de y é 0 ≤ y ≤ 10 r , podemos escrever a equação acima como

sin ⁡ γ = 2 3 2 + y 2

Mas agora o intervalo de y é de 0 a 10 (sem r), podemos escrever o ângulo γ como

γ = arcsin ⁡ 2 3 2 + y 2                   ( 2 )

Passo 4

Observe que α é o ângulo que a linha AB faz com a horizontal

α = tan - 1 y 3                     where   0 ≤ y ≤ 10                     ( 3 )

Enquanto φ é o ângulo que a linha DF faz com a vertical, portanto, podemos escrever

α + γ + φ = 90 °

α + γ + φ = π 2

A partir daqui, podemos expressar o ângulo φ como

φ = π 2 - α - γ

Vamos substituir α e γ pelas expressões (3) e (2), respectivamente

φ = π 2 - tan - 1 y 3 - arcsin ⁡ 2 3 2 + y 2                     ( 4 )

Finalmente, vamos substituir φ pela expressão (4) na equação (1)

T m g = e 1.4 π - 1.6 π 2 - tan - 1 y 3 - arcsin ⁡ 2 3 2 + y 2

T m g = e 0.6 π - 1.6 tan - 1 y 3 + 1.6 arcsin ⁡ 2 9 + y 2

Passo 5

Usando uma calculadora gráfica como o Desmos (link nos comentários), traçaremos esta função

O valor para y = 0

T m g y = 0 = 21.169 = 0

Quando y → ∞

tan - 1 y 3 → π 2                   arcsin ⁡ 2 9 + y 2 → 0

Portanto, podemos escrever a expressão para T m g quando y → ∞ é

T m g y = ∞ = e 0.6 π + 1.6 π 2

T m g y = ∞ = 81.307

Resposta

T m g y = 0 = 21.169

T m g y = ∞ = 81.307

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

A correia na secadora de roupas contorna o tambor D, a polia livre A e a polia do motor B. Se o motor pode desenvolver um torque máximoM=0,80N m , determine a menor tração da mola necessária para evit
Os blocos A e B têm massas de 7k g e 10k g , respectivamente. Usando os coeficientes de atrito estático indicados, determine a maior força vertical P que pode ser aplicada à corda sem causar movimento
A viga uniforme A B é apoiada por uma corda que passa por uma polia sem atrito em C e um pino fixo em D. Se o coeficiente de atrito estático entre a corda e o pino é u D=0,3 , determine a menor distân
O material granular, com uma densidade de 1,5M g / m ³ ³, é movimentado por uma correia transportadora que desliza sobre a superfície fixa, com um coeficiente de atrito cinético de u k=0,3 . A correia
Os blocos A e B têm massas de 7k g e 10k g , respectivamente. Usando os coeficientes de atrito estático indicados, determine a maior força P que pode ser aplicada à corda sem causar movimento. Há poli