Determine o momento de inércia da área sombreada em relação ao eixo  y .

Passo 1

Fala aí, galerinha do Responde aí. Tudo bem? Bora pra mais uma questão.

Basicamente precisamos encontrar o momento de inercia em relação ao eixo y :

I y = ∫ A x 2 d A

Primeiro iremos começar com o diagrama de corpo livre mostrando o elemento diferencial da área sombreada

A curva é:

y = x

x = y 2

Limites de integração de y = 0 até y = 1 .

Passo 2

Vamos integrar horizontalmente, usando uma faixa horizontal de altura d y , com comprimento x = y 2 :

d A = x ⋅ d y = y 2 ⋅ d y

Como o x de cada faixa é y 2 , então:

I y = ∫ 0 1 x 2 ⋅ d y

I y = ∫ 0 1 y 2 2 ⋅ d y

I y = ∫ 0 1 y 4 ⋅ d y

I y = ∫ 0 1 y 4 d y = y 5 5 0 1 = 1 5   m 4

Resposta

I y = 1 5   m 4

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