Enunciado

Determine a velocidade do bloco A de 30 kg se os dois blocos são soltos do repouso e o bloco B de 20 kg se desloca 0,6 m subindo o plano inclinado. O coeficiente de atrito cinético entre ambos os blocos e os planos inclinados é de μ k = 0,10 .

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:

Massa do bloco A : m A = 30   k g ;

Massa do bloco B : m B = 20   k g ;

Deslocamento de B : s B = 0,6   m ;

Coeficiente de atrito: μ k = 0,10 .

Os dois blocos partem do repouso, logo

v A 1 = 0

v B 1 = 0

Deevemos determinar a velocidade do bloco A após o bloco B se deslocar 0,6 m.

Primeiramente, vamos desenhar o diagrama de corpo livre de cada bloco.

Onde W = m g é a força peso, F f = N μ k é a força de atrito, N é a força normal e T é a força exercida pelo cabo.

Como os dois bloco são puxados pelo mesmo cabo, temos que

T B = T

T A = 2 T

Uma vez que do bloco A , saem dois cabos devido a polia existente.

Passo 2

Inicialmente, vamos aplicar a equação do movimento.

No bloco A :

Em y :

∑ F y = m A a y

W cos ⁡ 60 ° - N A = 0

m A g cos ⁡ 60 ° = N A

N A = 147 , 15   N

Logo,

F f A = N A μ k = 14,7 15   N

No bloco B :

Em y :

∑ F y = m B a y

N B - W cos ⁡ 3 0 ° = 0

N B = m B g cos ⁡ 3 0 °

N B = 169,9 1   N

Logo,

F f B = N B μ k = 16,99 1   N

Passo 3

Agora vamos aplicar o Princípio do Trabalho e Energia.

Vemos que tanto a força peso quando a força de atrito realizam trabalho sobre os blocos.

A força T nao realiza trabalho, pois ela representa as reações nos apoios e, por esse motivo, ela não se move enquanto os blocos são deslocados. A força normal também não realiza trabalho pois não atua na direção do movimento.

Sabemos que

T 1 + ∑ U 1 - 2 = T 2

Logo,

T 1 = 1 2 m v A 2 1 + 1 2 m v B 2 1 = 0

T 2 = 1 2 m v A 2 2 + 1 2 m v B 2 2 = ( 15 ) v A 2 2 + ( 10 ) v B 2 2

U 1 - 2 = m A g sen ⁡ 60 ° - m B g sen ⁡ 30 ° - F f A s A - F F B s B

Lembre-se de que o trabalho é positivo quando o componente da força está no mesmo sentido de direção que o seu deslocamento. Caso contrário, ele é negativo.

Substituindo os valores se T 1 , T 2 e U 1 - 2 , obtemos

0 + m A g sen ⁡ 60 ° s A - m B g sen ⁡ 30 ° s B - F f A s A - F F B s B = ( 15 ) v A 2 2 + ( 10 ) v B 2 2

( 254,87 - 14,715 ) s A - ( 98,1 + 16,991 ) s B = ( 15 ) v A 2 2 + ( 10 ) v B 2 2

Passo 4

Utilizando os métodos da cinemática, podemos ver na Figura dada pela questão que o comprimento total l de todos os seguimentos verticais do cabo pode ser expresso como

2 s A + s B = l

Logo, uma variação na posição dos blocos resulta na seguinte equação de deslocamento:

2 s A + s B = 0

2 s A = - s B

Vemos que um deslocamento para baixo de um bloco produz um deslocamento para cima do outro bloco, o que faz sentido ao imaginar a situação dada pela questão.

Portanto, quando s B = 0,6 m, temos que s A = 0,3 m.

Além disso, sabemos que a velocidade é dada pela variação de espaço em um intervalo de tempo, logo, a derivada temporal da seguinte equação de 2 s A = - s B resulta em

2 v A = - v B

Passo 5

Substituindo os valores de s A , s B e 2 v A = - v B na equação abaixo, obtemos

( 254,87 - 14,715 ) s A - ( 98,1 + 16,991 ) s B = ( 15 ) v A 2 2 + ( 10 ) v B 2 2

( 254,87 - 14,715 ) ( 0,3 ) - ( 98,1 + 16,991 ) ( 0,6 ) = ( 15 ) v A 2 2 + ( 10 ) v B 2 2

2,74 = ( 15 ) v A 2 2 + ( 10 ) v B 2 2

2,99 = 15 v A 2 2 + 10 - 2 v A 2 2 = 55 v A 2 2

v A 2 = 0,233   m / s

v B 2 = - 2 v A 2 = - 0,466   m / s

Resposta

v A 2 = 0,233   m / s

v B 2 = - 0,466   m / s

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