Enunciado

A respeito do conjunto apresentado, o braço O A possui uma massa de 0,8   k g e um raio de giração em relação a O de 140   m m . A engrenagem B tem uma massa de 0,9   k g e pode ser tratada como um disco circular maciço. A engrenagem C está fixa no plano vertical e não pode girar. Se um momento constante M = 4   N ∙ m é aplicado ao braço O A , inicialmente em repouso na posição horizontal mostrada, calcule a velocidade v do ponto A quando atinge o topo em A ' .

Passo 1

Vamos começar montando a lei de conservação de energia, lembrando que existe um trabalho externo sendo aplicado ao sistema:

W = Δ T + Δ V g

Começamos encontrando uma expressão para o trabalho W . Como temos um momento de módulo M produzindo um deslocamento angular de Δ θ = 90 ° = π / 2 , então:

W = M π 2 = 4 π 2 = 2 π   J

Passo 2

Agora vamos procurar uma expressão para a variação de energia cinética entre o ponto inicial e o ponto A ' :

Δ T = Δ T b r a ç o + Δ T e n g r

O braço tem apenas movimento de rotação em torno do seu eixo em O :

Δ T b r a ç o = 1 2 I O ω O A 2

Já a engreagem B tem movimento de rotação em torno do seu próprio centro e movimento de translação ao longo da engrenagem com velocidade v .

Δ T e n g r = 1 2 I - ω B 2 + 1 2 m v 2

Agora uma informação importante: A velocidade do centro de massa de B , e da extremidade do braço O A são iguais. Podemos deduzir isso pela forma como eles estão conectados.

E é justamente essa velocidade v que queremos calcular. Podemos usar essa igualdade para escrever o seguinte:

ω B = v r B = v 0,08

ω O A = v O A - = v 0,28

Então:

Δ T = Δ T b r a ç o + Δ T e n g r

Δ T = 1 2 I O ω O A 2 + 1 2 I - ω B 2 + 1 2 m v 2

Δ T = 1 2 I O v 0,28 2 + 1 2 I - v 0,08 2 + 1 2 m v 2

Passo 3

Para completar essa equação, vamos encontrar os momentos de inércia e substiuir os valores que foram dados.

Começando pelo momento de inércia do braço O A em torno do ponto O :

I O = m k - 2 = 0,8 0,140 2 = 0,01568   k g ∙ m 2

E o momento de inércia da engrenagem B em torno do seu centro de massa:

I - = 1 2 m r 2 = 1 2 0,9 0,08 2 = 2,88   .   10 - 3   k g ∙ m 2

Substituindo esses e os outros valores na nossa expressão, encontramos o seguinte:

Δ T = 1 2 0,01568 v 0,28 2 + 1 2 2,88.10 - 3 v 0,08 2 + 1 2 0,9 v 2

Δ T = 0,1 v 2 + 0,225 v 2 + 0,45   v 2 = 0,775   v 2

Passo 4

Agora vamos procurar uma expressão para a variação de energia potencial gravitacional:

Δ V g = Δ V e n g r + Δ V b r a ç o

Vamos colocar o zero da nossa energia potencial na altura do ponto O .

A distância entre O e o centro de massa do braço O A é:

d = 0,200 2 = 0,100   m

Então quando o braço passa da posição inicial (horizontal) para a final (vertical), a variação de altura do centro de massa do braço é:

Δ h b r a ç o = 0,100   m

Já o centro de massa da engrenagem sobe uma altura igual ao raio da engrenagem C somado ao seu próprio raio:

Δ h e n g r = 0,200 + 0,80 = 0,280   m

Então:

Δ V g = 9,81 0,8 0,100 + 0,9 0,280 = 3,257   J

Passo 5

Por fim, vamos voltar à nossa lei de conservação de energia:

W = Δ T + Δ V g

2 π = 0,775   v 2 + 3,257

v 2 = 2 π - 3,257 0,775

v = 1,976   m / s

Resposta

A velocidade final do ponto A ao atingir o topo é v = 1,976   m / s .

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