Enunciado

O motor elétrico apresentado está fornecendo 4   k W a 1725   r p m para uma bomba a qual aciona. Calcule o ângulo δ por meio do qual o motor se inclina sob a ação da carga, se a rigidez de cada uma de suas quatro molas de suporte é de 15   k N / m . Em que direção o eixo do motor gira?

Passo 1

Vamos começar entendendo como o ângulo δ vai aparecer na nossa conta.

Suponha que o motor se incline para um dos lados, de modo que uma das molas seja comprimida em x e a outra seja esticada em x :

Nesse caso:

tan ⁡ δ = x 0,100         ⇒         δ = arctan ⁡ x 0,100

Ou seja, nosso objetivo é encontrar a distorção x que a mola sofre.

Como nós conhecemos a rigidez k de cada uma delas, só precisamos conhecer a força adicional F que age sobre cada uma quando o motor se entorta:

F = k x         ⇒         x = F k

Passo 2

Beleza, então temos que encontrar essa força F .

Quando o motor se entortar para um dos lados, a mola comprimida fará força para cima, e a mola esticada fará uma força de mesmo módulo para baixo:

Além disso, temos o momento M , que é a reação da bomba ao torque que o motor imprime sobre ela.

M   pode ser calculado a partir da potência e da velocidade angular dadas no enunciado:

P = M ω

M = P ω = 4.10 3 1725 2 π 60   = 22,14   N ∙ m

Portanto, se o motor faz a bomba rodar no sentido horário, ele se inclina no sentido anti-horário, e vice-versa.

Passo 3

Agora vamos olhar para a soma dos momentos das forças em relação ao ponto O quando o motor está em equilíbrio em uma posição inclinada por um ângulo δ :

∑ M O = 0

Além do momento M = 22,14   N ∙ m , o par de forças - k x e k x separadas por 0,200   m formarão um binário na direção oposta:

∑ M O = 22,14 - ( 2 ) ( k x ) ( 0,2 )

E multiplicamos por dois para considerar o par de forças traseiro e o dianteiro.

0,4   k x = 22,14

0,4 15.10 3 x = ( 22,14 )

x = 3,69.10 - 3   m

Substituindo na nossa fórmula de cima:

δ = arctan ⁡ 3,69.10 - 3 0,100 = 2,11 °

E se, conforme o desenho do enunciado, o motor se inclina no sentido anti-horário, isso quer dizer que ele está “empurrando” a bomba no sentido horário, e então é nessa direção que seu eixo está girando.

Resposta

O motor se inclina por um ângulo δ = 2,11 ° , e o seu eixo gira no sentido horário.

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