Enunciado

Determine o volume de um elipsoide formado girando-se a área sombreada em torno do eixo x usando o segundo teorema de Pappus-Guldinus. A área e o centroide y da área sombreada devem ser obtidos primeiramente usando-se integração.

Passo 1

Fala aí, galerinha do Responde aí. Tudo beleza? Vamos fazer mais uma questão de Estática.

Este problema nos pede para determinarmos o centroide deste elipsoide. Sabemos que ele é dado por:

y _ = ∫   y ~   d V ∫ d V  

Primeiro, vamos determinar o volume deste elipsoide, ele é representado pelo denominador da relação que encontramos. Temos:

d V = π x 2   d y

Onde z 2 é dado pela equação do elipsoide. Fica assim:

y 2 b 2 + x 2 a 2 = 1 →   x 2 = a 2 1 - y 2 b 2

Substituindo:

V = ∫ a b π a 2 1 - y 2 b 2 d y = π a 2 y - y 3 3 b 2 a b   V = 2 π a 2 b 3

Em seguida, vamos determinar o numerador da nossa relação:

∫   y ~   d V = ∫ a b π a 2 y 1 - y 2 b 2 d y = π a 2 y 2 2 - y 4 4 b 2 a b   = π a 2 b 2 4

Então, a posição y _ do centroide vai ser dada pela razão destas integrais que calculamos, assim:

y _ = π a 2 b 2 4 2 π a 2 b 3 y _ = 3 b 8

Passo 2

Em seguida, precisamos encontrar o volume pelo teorema de pappus, sabemos que ele é dado por:

V = θ r _ A

Onde θ é o ângulo de rotação que gera o corpo, neste caso, o meio-feio. Já A é área da região que vai gerar o sólido e r _ a distância do centroide da figura até o eixo de rotação. Podemos utilizar a posição y do centroide como braço de alavanca. Logo, nosso volume vai ser:

V = θ r _ d V V = π a 2 1 - y 2 b 2 2 π 3 b 8 V = 2 π a 2 b 3

É isso, galera, Bora resolver mais questões pra ficar craque.

Resposta

V = 2 π a 2 b 3

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