Enunciado

Usando a integração, determine a área e a distância do centroide x da região plana sombreada. Depois, usando o segundo teorema de Pappus -Guldinus, determine o volume do sólido gerado girando-se a área em torno do eixo y .

Passo 1

Fala aí, galerinha do Responde aí. Tudo beleza? Vamos fazer mais uma questão de Estática.

Para determinarmos o centroide x ¯ da área da área dada, precisamos utilizar a seguinte relação. Ela é dada por:

x ¯ = ∫ A x ~ d A   ∫ A d A

Onde ∫ A d A é a área do gráfico. Para o elemento infinitesimal, temos:

x ~ = x 2

Portanto, d A = y   d y .

Então, vamos determinar os limites de integração. Como a gente quer encontrar o centroide em x , os limites de integração vão ser:

a = 0 b = 2

Ou seja, a posição mínima e a posição máxima no gráfico em x .

Passo 2

Em seguida, vamos resolver as integrais da relação para a posição do centroide separadamente. Primeiro, para o numerador, temos:

∫ A x ~ d A = ∫ 0 2 y 4 8   d y

Integrando:

= 0,8   m 3

E para o denominador, temos:

∫ A d A = ∫ 0 2 y 2 2   d y = 1,33   m 2

Com isso, a posição x ¯ do centroide vai ser:

x ¯ = 0,6   m

Passo 3

Em seguida, temos a posição do centroide, vamos utilizar o teorema de Pappus para cada uma das regiões. Assim, o volume do sólido gerado vai ser:

V = θ r ¯ A

Como ∫ A d A é a área do gráfico, temos:

V = 2 π 0,6 1,33 V = 5,03 m 3

É isso, galera, Bora resolver mais questões pra ficar craque.

Resposta

x ¯ = 0,6   m

V = 5,03 m 3

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