Enunciado

Determine o volume V gerado girando a área elíptica em 180 ° em torno do eixo z.

Passo 1

Lembre-se dos teoremas de Pappus que a superfície externa de um corpo pode ser encontrada pela fórmula:

A = θ y - L

E o Volume pode ser encontrado pela fórmula:

V = θ y - A

Passo 2

Começamos procurando a distância do centro de massa do corpo ao eixo Z. Observe que a linha paralela ao eixo Z que passa pelo centro dos dois eixos da área elíptica é um eixo de simetria, portanto, o centro de massa será encontrado nesse eixo. O mesmo vale para o eixo X. Portanto, o centro será encontrado onde o eixo da elipse se encontra:

y - = r - = 80   mm

Em seguida, precisamos encontrar θ , uma vez que a revolução é 180 ° , escrevemos:

θ = π

Em seguida, estamos procurando encontrar o Volume aqui, então usaremos a segunda fórmula do Teorema de Pappus:

V = θ y - A

Passo 3

A última coisa de que precisamos é a área. Temos uma elipse com

a = 50 2 e b = 35 2 ,

Então a área é:

A = π ∙ a ∙ b = π 50 2 35 2 = 1374.4   mm 2

Temos tudo o que precisamos para encontrar o Volume, então:

V = θ y - A = π 80 1374.4 = 453380 = 0.345 10 6   mm 3

Resposta

Comece encontrando a distância do centro de massa do corpo ao eixo Z. Em seguida, encontre o ângulo de revolução em radianos. O próximo passo é encontrar a área da elipse e finalmente aplicar os teoremas de Pappus

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