Enunciado

Uma carga homogênea de propelente sólido para um foguete está na forma de um cilindro circular com um furo concêntrico de profundidade x . Para as dimensões mostradas, faça um gráfico de X - , a coordenada x do centro de massa do propelente, em função da profundidade x do furo desde x = 0 até x = 600 mm. Determine o valor máximo de X - e mostre que ele é igual ao valor correspondente de x .

Passo 1

Vamos calcular o centro de massa do propelente através da fórmula para o centro de massa de dois corpos homogêneos combinados:

X - = x - 1 V 1 - x - 2 V 2 V 1 - V 2

Nesse caso consideramos como corpo 1 o cilindro maior inteiro, e como corpo 2 a parte vazia, como se fosse um segundo corpo de volume negativo.

Passo 2

Primeiro calculamos o volume do cilindro maior inteiro:

V 1 = π D 2 H 4 = π ⋅ 180 2 ⋅ 600 4 = 4860000 π

O centro de massa se situa no meio do cilindro:

x - 1 = 300

Passo 3

Agora calculamos o volume do buraco cilíndrico:

V 2 = π d 2 h 4 = π ⋅ 90 2 ⋅ x 4 = 2025 π x

O centro de massa fica no meio:

x - 2 = x 2

Passo 4

Vamos agora aplicar a fórmula:

X - = x - 1 V 1 - x - 2 V 2 V 1 - V 2 = 300 ⋅ 4860000 π - x 2 ⋅ 2025 π x 4860000 π - 2025 π x

= 1458000000 - 1012,5 x 2 4860000 - 2025 x

Vamos dividir em cima e em baixo por 1012,5 para simplificar:

X - = 1440000 - x 2 4800 - 2 x

Treçamos então o gráfico de X - em função de x :

Passo 5

Agora vamos maximizar a função X - . O máximo ocorrerá quando d X - d x = 0 . Vamos então derivar:

d X - d x = 1440000 - x 2 ' 4800 - 2 x - 1440000 - x 2 4800 - 2 x ' 4800 - 2 x 2

= - 2 x 4800 - 2 x - 1440000 - x 2 - 2 4800 - 2 x 2

= - 9600 x + 4 x 2 + 2880000 - 2 x 2 4800 - 2 x 2 = 2 x 2 - 9600 x + 2880000 4800 - 2 x 2

Como o denominador é sempre positivo, queremos então o denominador igual a zero. Então:

2 x 2 - 9600 x + 2880000 = 0 ⇒ x 2 - 4800 x + 1440000 = 0

Resolvemos a equação de segundo grau para encontrar x :

Δ = - 4800 2 - 4 × 1440000 = 17280000

x = - - 4800 ± 17280000 2 = 4800 ± 4157 2

Como queremos um valor entre 0 e 600 mm:

x = 4800 - 4157 2 = 643 2 = 322   m m

O valor de X - nesse ponto é:

X - M á x = 1440000 - ( 322 ) 2 4800 - 2 ( 322 ) = 1440000 - 103684 4800 - 644 = 1336316 4156 = 322   m m

Resposta

X - = 1440000 - x 2 4800 - 2 x

X - M á x = X - 322 = 322   m m

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