Enunciado

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O disco circular uniforme de 45 kg com sua barra esbelta de 9 kg presa é liberado a partir do repouso na posição mostrada e rola sem deslizar sobre a superfície horizontal. Calcule a velocidade v o quando o centro de massa da barra está diretamente abaixo do centro O do disco.

Passo 1

Pessoal, neste exercício temos que analisar as duas situações do enunciado. Vamos começar com o sistema na posição mostrada na figura.

Instante 1

Como o sistema parte do repouso, a energia cinética vale zero neste instante.

Já a energia potencial gravitacional será a soma das energias de cada elemento (a barra e o disco). Entretanto, vamos “ignorar” a energia gravitacional do disco, pois no instante 1 e no 2 sua altura é a mesma, então sua energia gravitacional não irá variar. Vamos então calcular a energia neste instante:

E 1 = m D g h = 9 9,81 0,4 + 0,3 2 = 48,56   J

Passo 2

Agora vamos para o instante 2. Veja como o sistema está nessa posição.

Neste instante, tanto a barra quanto o disco estão transladando e rotacionando. Portanto, terão duas componentes para a energia cinética: a de rotação e a de rotação.

T = T D + T B

T = 1 2 m D v O 2 + 1 2 I O ω 2 + 1 2 m B v B 2 + 1 2 I B ω 2

Agora precisamos encontrar relações para as velocidades absolutas e para a angular.

Como não há deslizamento, então o ponto de contato do disco com o chão é o centro instantâneo de velocidade nula. Desta forma, podemos tirar a relação para a velocidade angular do sistema:

ω = v O r = v O 0,4 = 2,5 v O

Da mesma forma, podemos calcular a velocidade absoluta da barra:

v G = ω × r G C

v G = 0,4 - 0,212 0,4 v O = 0,47 v O

Além disso, também é importante conhecer os momentos de inercia:

I O = 1 2 m D r 2 = 1 2 45 0,4 2 = 3,6   k g m 2

I B = 1 12 m B l 2 = 1 12 9 0,3 2 2 = 0 , 135   k g m 2

Agora sim podemos substituir na equação da energia cinética:

T = 1 2 45 v O 2 + 1 2 3,6 ( 2,5 v O 2 ) 2 + 1 2 9 0,47 v O 2 + 1 2 0 , 135 ( 2 , 5 v O 2 ) 2

T = v O 2 22,5 + 11,25 + 0,994 + 0,422 = 35,16 v O 2

Já a energia potencial gravitacional da barra fica:

V = m B g h 2 = 9 9,81 0,4 - 0,212 = 16 , 60

Logo a energia no instante 2 vale:

E 2 = 16,60 + 35,16 v O 2

Por conservação de energia, podemos igualar o instante 1 ao instante 2:

E 1 = E 2

48,56 = 16,60 + 35,16 v O 2

v O = 0,954   m / s

Resposta

v O = 0,954   m / s

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