Enunciado

O dispositivo “mandíbulas da vida” de Prob. 4/88 é redesenhado aqui com suas mandíbulas abertas. A pressão atrás do pistão P de área de 20 in² é mantida em 500 l b / i n . 2 Calcule e plote a força R como uma função de θ para 0≤θ≤ 45∘, onde R é a força vertical atuando nos destroços conforme mostrado. Determine o valor máximo de R e o valor correspondente do ângulo da mandíbula. Veja a figura do Prob. 4/88 para dimensões e a geometria associada à condição θ = 0. Observe que o elo AB e sua contraparte são ambos horizontais na figura para θ = 0, mas não permanecem horizontais quando as mandíbulas se abrem.

Passo 1

Neste problema, é essencial entender como o dispositivo funciona

Primeiro, vamos desenhar a mandíbula inferior com o membro AB anexado a ela no momento θ = 0 ∘

Podemos notar que o comprimento BC é

B C -   = 4 2 + 1 2 = 4.123 "

E isso faz com que o ângulo do eixo y de

α = t a n - 1 ⁡ 1 4 = 14.036 ∘

Passo 2

Quando o dispositivo funciona, o ponto C não se move, o ponto B gira em torno de C, portanto, B encontra-se no círculo com centro em C (rad com um raio de r = 4.123 " ) enquanto o ponto A se move horizontalmente, e desde ele é anexado por 2” membro a B e fica na interseção do círculo com o centro em B (com um raio de r = 2 ") e o eixo horizontal 4 '' acima de C

A etapa final da animação GIF é colocada na linha abaixo, onde determinaremos o ângulo que força F faz com o eixo x

Passo 3

Olhando para a mandíbula inferior isolada, podemos ver que a força no membro AB faz com o ângulo do eixo x de

β = a r c s i n ⁡ B Y - A Y A B ¯ β = a r c s i n ⁡ 4.123 c o s ⁡ ( α - θ ) - 4 2 β = arcsin ⁡ 4.123 cos ⁡ 14.036 ∘ - θ - 4 2                                           ( 1 )

Passo 4

Ao igualar a soma dos momentos sobre o ponto C a zero, eliminaremos as forças de reação em C, para que possamos determinar a força R

∑ M C = 0

- 4.123 F c o s ⁡ ( α - θ - β ) + ( 19 c o s ⁡ θ - 4.123 s i n ⁡ ( α - θ ) ) R = 0 R = 4.123 F c o s ⁡ ( α - θ - β ) 19 c o s ⁡ θ - 4.123 s i n ⁡ ( α - θ )

Quando substituímos α por seu valor e β pela expressão (1), obteremos a expressão de R em função da força F e do ângulo θ

R = 4.123 F c o s ⁡ 14.036 ∘ - θ - a r c s i n ⁡ 4.123 c o s ⁡ 14.036 ∘ - θ - 4 2 19 c o s ⁡ θ - 4.123 s i n ⁡ 14.036 ∘ - θ (2)

Desenhando o diagrama de corpo livre da parte P com as forças de dois membros atuando nela, podemos determiná-los

Usando simetria, sabemos que as forças nos membros AB e CD são iguais, enquanto a força exercida no dispositivo por pressão é

P = p A

= 500 ⋅ 20 = 10000 l b

Passo 5

Ao igualar a soma das forças na direção x a zero, podemos determinar a força F

∑ F X = 0

P - 2 F c o s ⁡ β = 0 F = P 2 c o s ⁡ β F = 10000 2 c o s ⁡ arcsin ⁡ 4.123 c o s ⁡ 14.036 ∘ - θ - 4 2 F = 5000 cos ⁡ arcsin ⁡ 4.123 c o s ⁡ 14.036 ∘ - θ - 4 2 F = 5000 cos ⁡ arcsin ⁡ 2.0615 cos ⁡ 14.036 ∘ - θ - 2                                         ( 3 )

Passo 6

Finalmente, vamos substituir F na equação (2) pela expressão (3) para obter a expressão de R como função do ângulo θ

R = 4.123 F c o s ⁡ 14.036 ∘ - θ - a r c s i n ⁡ 4.123 c o s ⁡ 14.036 ∘ - θ - 4 2 19 c o s ⁡ θ - 4.123 s i n ⁡ 14.036 ∘ - θ                             ( 2 )

R = 5000 ⋅ 4.123 c o s ⁡ 14.036 ∘ - θ - a r c s i n ⁡ 4.123 c o s ⁡ 14.036 ∘ - θ - 4 2 cos ⁡ arcsin ⁡ 2.0615 c o s ⁡ 14.036 ∘ - θ - 2 19 c o s ⁡ θ - 4.123 s i n ⁡ 14.036 ∘ - θ

Usando uma calculadora gráfica como o Desmos, podemos ver que a força máxima é

R m a x = 1299.16 l b  em  θ = 45 ∘

Resposta

R m a x = 1299.16 l b  em  θ = 45 ∘

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