Enunciado

Os dois cabos de aço A B e A C são usados para suportar a carga. Se ambos tiverem uma tensão de tração admissível σ a d m = 180 M P a , e se o cabo A B tiver diâmetro de 6   m m e o cabo   A C tiver diâmetro de 4   m m , determine a maior força P que pode ser aplicada à corrente antes que um dos cabos falhe.

Passo 1

Oláaaa, querido! Cê tá bem?

Então, o problema nos fornece o valor da tensão normal admissível de cada cabo e pede o valor máximo de P antes que um dos cabos falhe. Quem falha primeiro é o cabo mais fraco né?

Então P máximo vai acontecer quando o cabo mais fraco estiver suportando a sua força normal máxima. Aí para descobrir quem é o cabo mais fraco a gente precisa descobrir a força máxima de cada cabo primeiro.

Temos essa expressão para a tensão admissível σ :

σ = F A

Podemos achar a força máxima que um cabo resiste através dela, isolando F :

F = A σ

Então para achar a força que cada cabo aguenta, vamos usar essa expressão. Bora!

Passo 2

Para o cabo A B ela fica

F a b = A a b ⋅ σ p e r m i t i d o

Como ele tem seção circular, a área é dada por:

A a b = π 4 ⋅ d a b 2

Vamos ter:

F a b = π 4 ⋅ d a b 2 ⋅ σ p e r m i t i d o

F a b = π 4 ⋅ 0,006 2 ⋅ 180 × 10 6

F a b = 5,09 k N

E para o cabo A C vamos ter algo parecido:

F = A σ

F a c = π 4 ⋅ d a c 2 ⋅ σ p e r m i t i d o

F a c = π 4 ⋅ 0,004 2 ⋅ 180 × 10 6

F a c = 2,26 k N

Percebe que a menor força é do cabo A C . Então ele é o mais fraco. E é quando F a c = 2,26   k N quem temos o nosso P máximo. Vamos descobrir esse P !

Passo 3

Para achar P vamos usar a segunda lei de Newton no nó A. Então vamos fazer aquele diagrama de corpo livre esperto:

A equação para o eixo x fica:

∑ F x = 0

F a c ⋅ 4 5 - F a b ⋅ s i n 60 ° = 0

Aí lembra que queremos o valor de P para F a c = 2,26   k N

2,26 ⋅ 4 5 - F a b ⋅ s i n 60 ° = 0

F a b ⋅ s i n 60 ° = 2,26 ⋅ 4 5 = 1,808

F a b = 1,808 s e n ( 60 )

F a b = 2,0895   k N

Passo 4

Agora a equação para o eixo y :

∑ F y = 0

F a c ⋅ 3 5 + F a b ⋅ c o s 60 ° - P = 0

P = F a c ⋅ 3 5 + F a b ⋅ c o s 60 °

Substituindo os valores das forças:

P = 2,26 ⋅ 3 5 + 2,0895 ⋅ c o s 60 °

P = 2,40   k N

Resposta

P = 2,40 k N

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